Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Опубликован: 09.09.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 5061 / 527 | Оценка: 4.35 / 3.78 | Длительность: 13:51:00
ISBN: 978-5-9556-0038-3
Специальности: Математик
Лекция 2:

Группы

< Лекция 1 || Лекция 2: 123 || Лекция 3 >
Аннотация: В данной лекции рассматриваются понятия групп. Приведены основные определения и свойства элементов группы. Рассмотрен ряд характерных задач, доказаны основные теоремы, а также приведены задачи для самостоятельного рассмотрения

Группы

Одним из основных общематематических понятий является понятие группы.

Определение 1.9.1.

Непустое множество G с бинарной операцией {*}: G\times G\to G, (a,b)\to a*b\in G для a,b\in G, называется группой , если:

  1. операция ассоциативна (т. е. (a*b)*c=a*(b*c) для всех a,b,c\in G );
  2. существует нейтральный элемент e\in G (т. е. g*e=g=e*g для всех g\in G );
  3. для каждого элемента g\in G существует обратный элемент g^{-1}\in G (т. е. g*g-1=e=g-1*g ).

Замечание 1.9.2. Напомним, что нейтральный элемент (при мультипликативной записи называемый единицей группы) единственный. Обратный элемент g-1 для элемента g\in G определен однозначно. Коммутативная группа часто называется абелевой группой.

Лемма 1.9.3. Если G - группа, a,b\in G, то

  1. уравнение ax=b имеет, и только одно, решение x=a-1b ;
  2. уравнение ya=b имеет, и только одно, решение y=ba-1 ;
  3. если ab=ac, то b=c ; если ba=ca, то b=c ;
  4. если x2=x, то x=e ;
  5. (ab)-1=b-1a-1; (a1... an)-1=an-1... a1-1; (a-1)-1=a.

Доказательство.

1) Ясно, что a(a-1b)=b. Если же ax=b для x\in G, то x=a-1ax=a-1b.

2) Ясно, что (ba-1)a=b. Если же ya=b для y\in G, то y=(ya)a-1=ba-1.

3) и 4) следуют из 1) и 2).

5) проверяется непосредственно.

Примеры 1.9.4 (примеры групп).

  1. Целые числа Z, рациональные числа Q, действительные числа R с операцией сложения. Заметим, что: а) натуральные числа N с операцией сложения группой не являются (отсутствует нейтральный элемент); б) натуральные числа с нулем N0 также не являются группой (обратный элемент (в аддитивной записи обычно называемый противоположным элементом) существует только для 0 ; таким образом, например, 1 уже не имеет обратного элемента).
  2. Группа вычетов (Zn,+) по модулю n. Пусть (Z,+) - группа целых чисел по сложению, 1<n\in N. Для k\in Z пусть C_k=k+nZ=\{k+nq\mid q\in Z\}
(сдвиг подгруппы nZ на элемент k ). Ясно, что Ck=Cl, l\in Z, тогда и только тогда, когда k-l=nq, q\in Z. Так как k=nq+r,\ \ \text{где}\ \ q\inZ,\ \ 0 \leq r<n, то Ck=Cr. Таким образом, множество различных сдвигов Zn={C0,C1,...,Cn-1} находится в биективном соответствии с множеством остатков {0,1,2,...,n-1} при делении на число n.

    Определим операцию сложения на множестве Zn, полагая C_k+C_l=C_{k+l}=C_s,\ \ \text{где}\ \
k+l=n\bar q+s,\ \ 0 \leq s \leq n-1,\ \ \bar q\in Z. Проверим корректность этой операции. Если Ck=Ck', Cl=Cl', то k'=k+nu, l'=l+nv, u,v\inZ, следовательно, k'+l'=(k+nu)+(l+nv)=(k+l)+n(u+v), и поэтому Ck'+l'=Ck+l.

    Так как для k,l,m\inZ (Ck+Cl)+Cm=C(k+l)+m=Ck+(l+m)=Ck+(Cl+Cm), Ck+Cl=Ck+l=Cl+k=Cl+Ck, то эта операция ассоциативна и коммутативна. Ясно, что C0 является нейтральным элементом в (Zn,+), а элемент C-k является противоположным элементом для Ck.

    Итак, (Zn,+) - коммутативная группа, называемая группой вычетов по модулю n (операция сложения - это в точности операция сложения остатков при делении на n по модулю числа n: сначала надо сложить остатки как целые числа, а затем взять остаток от деления этой суммы на n ). Мы отметили, что |Zn|=n.

    В частности, имеем таблицы сложения для групп Z2 и Z3:

    + 0 1
    0 0 1
    1 1 0
    + 0 1 2
    0 0 1 2
    1 1 2 0
    2 2 0 1

  3. Q*=Q\{0}, R*=R\{0} относительно умножения являются группами (называемыми мультипликативными группами соответствующих полей).
  4. Q_+=\{q\in Q\mid q>0\}, R_+=\{r\in R\mid r>0\} с операциями умножения являются группами.
  5. G={1,-1} с операцией умножения является группой.

Замечание 1.9.5. Множество T(M) всех отображений f: M \to M с операцией умножения (композицией) является полугруппой, но не является группой при |M|>1 (существуют отображения f: M\to M, не являющиеся биекциями и, следовательно, не имеющие обратного отображения).

< Лекция 1 || Лекция 2: 123 || Лекция 3 >
Надие Якубова
Надие Якубова
Ксения Голубова
Ксения Голубова