Группы
Упражнение 1.9.6.
- Пусть , c>0, (=(-c,c)). Покажите, что (G,*) - группа, где (сложение скоростей в специальной теории относительности).
- Если G - группа, в которой x2=1 для всех , то G - абелева группа.
Определение 1.9.7. Пусть G - группа, , - целое число. Положим
Замечание 1.9.8. Если m>0, то (a-1)m=(am)-1. Действительно, .
Теорема 1.9.9. Пусть G - группа, , - целые числа. Тогда .
Доказательство. Формально, мы должны рассмотреть случаев.
Случай 1. m>0, n>0 (следовательно, m+n>0 ). Тогда .
Случай 2. m>0, n<0 (поэтому n'=-n>0 ). Тогда
Аналогично разбираются остальные случаи: 3) m<0, n>0 ; 4) m<0, n<0 ; 5) m=0, n>0 ; 6) m=0, n=0 ; 7) m=0, n<0 ; 8) m>0, n=0 ; 9) m<0, n=0.
Следствие 1.9.10. (am)n=amn для всех .
Рассмотрим целые степени элемента a группы G ..., a-3, a-2, a-1, a0=e, a, a2, a3,... Возможны два случая.
Случай 1. Все элементы в этом ряду различны (т. е. для всех целых чисел ). В этом случае будем говорить, что порядок элемента a бесконечный (обозначение: ).
Случай 2. В этом ряду ak=al для некоторых . Пусть k>l. Тогда ak-1=e, где k-l>0, т. е. встретилась и натуральная степень элемента a, равная e. Рассмотрим множество . Это непустое подмножество натуральных чисел. Следовательно, в T существует наименьший элемент n, который мы назовем порядком элемента a и обозначим через O(a).
Таким образом:
- an=e, n>0 ;
- если ak=e, k>0, то .
Пример 1.9.11. G={1,-1}, a=-1. Тогда a1=-1, a2=1, т. е. O(a)=2.
Лемма 1.9.12. Если , то:
- все элементы e=a0,a,a2,...,an-1 различны;
- для любого элемент ak совпадает с одним из e,a,a2,...,an-1.
- Следует из определения порядка элемента O(a).
- Пусть . Тогда k=nq+r, где . Следовательно, ak=(an)qar=ear=ar.
Лемма 1.9.13. Пусть . Тогда ak=e в том и только в том случае, когда k=nq.
- Если k=nq, то ak=(an)q=eq=e.
- Допустим противное, т. е. что k=nq+r, где 0<r<n. Тогда (по лемме 1.9.12). Получили противоречие.
Лемма 1.9.14. Для непустого подмножества H группы G следующие условия эквивалентны:
- H является группой относительно исходной операции в группе G ;
- подмножество H удовлетворяет следующим двум условиям:
a) если , то ;
б) если , то .
Подмножество H группы G, удовлетворяющее эквивалентным условиям 1) и 2), называется подгруппой группы G .
1) 2). Если , то, поскольку операция определена на H (т. е. не выводит из H ), имеем , т. е. 2a).
Если e' - нейтральный элемент группы H, то . Умножая в группе G обе стороны равенства на (e')-1, получаем e'=e (здесь e - нейтральный элемент группы G ).
Если h-1 - обратный элемент для элемента , то , т. е. (условие 2b)).
2) 1). Условие 2a) показывает, что операция определена на множестве H. Конечно, она ассоциативна. Далее, для в силу 2b) , и поэтому, в силу 2a), . Ясно, что e - нейтральный элемент в H, а h-1 - обратный элемент для h в H. Итак, H - группа относительно операции, индуцированной операцией группы G.
Следствие 1.9.15. Если G - группа, , H - подгруппа группы G, F - подгруппа группы H, то F - подгруппа группы G.