Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Опубликован: 09.09.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 4950 / 511 | Оценка: 4.35 / 3.78 | Длительность: 13:51:00
ISBN: 978-5-9556-0038-3
Специальности: Математик
Лекция 3:

Кольца. Поля. Идеалы и гомоморфизмы колец

< Лекция 2 || Лекция 3: 123 || Лекция 4 >
Аннотация: В данной лекции рассматриваются понятия колец. Приведены основные определения и свойства элементов кольца, рассмотрены ассоциативные кольца. Рассмотрен ряд характерных задач, доказаны основные теоремы, а также приведены задачи для самостоятельного рассмотрения

Кольца

Множество R с двумя бинарными операциями (сложением + и умножением \cdot ) называется ассоциативным кольцом с единицей , если:

  1. относительно сложения (R,+) - абелева (т. е. коммутативная) группа;
  2. умножение - ассоциативная операция, и существует нейтральный элемент 1 (т. е. 1\cdot r=r=r\cdot 1 для всех r\in R ), называемый единицей;
  3. сложение и умножение связаны законами дистрибутивности (a+b)c=ac+bc, c(a+b)=ca+cb для всех a,b,c\in R.

Если операция умножения коммутативна, то кольцо (R,{+},{\cdot}) называется коммутативным кольцом. Коммутативные кольца являются одним из главных объектов изучения в коммутативной алгебре и алгебраической геометрии.

Замечания 1.10.1.

  1. Исследуются и неассоциативные кольца. Например, если вместо ассоциативности 2) умножение удовлетворяет тождеству Якоби a(bc)+b(ca)+c(ab)=0 для всех a,b,c\in R и ab=-ba для всех a,b\in R, то такое кольцо называется кольцом Ли.
  2. Рассматриваются также и ассоциативные кольца без единицы. Например, четные числа R=2Z являются ассоциативным коммутативным кольцом без единицы.

Примеры 1.10.2 (примеры ассоциативных колец).

  1. Кольцо (Z,{+},{\cdot}) целых чисел; поля Q, R.
  2. Кольцо непрерывных вещественных функций C[0,1] на отрезке [0,1] (для f,g\in C[0,1], x\in [0,1]: (f+g)(x)=f(x)+g(x), (fg)(x)=f(x)g(x) ).
  3. Кольцо многочленов R[x] с действительными коэффициентами.
  4. Кольцо вычетов (Z_n,{+},{\cdot}) по модулю n.

Мы уже убедились, что группа вычетов (Zn,+)={C0,C1,...,Cn-1}, Ck=k+nZ, по модулю n с операцией сложения C_k+C_l=C_{k+l}=C_r,\ \ \text{где}\ \ k+l=nq+r,\ 0 \leq r \leq n-1, является коммутативной группой (см. пример 1.9.4, 2)).

Определим операцию умножения, полагая C_k\cdot C_l=C_{kl}=C_s,\ \ \text{где}\ \ kl=n\tilde q+s,\ 0 \leq s \leq n-1. Проверим корректность этой операции. Если Ck=Ck', Cl=Cl', то k'=k+nu, l'=l+nv, k'\cdot l'=kl+n(kv+ul+nuv), и поэтому Ck'l'=Ckl.

Так как (CkCl)Cm=C(kl)m=Ck(lm)=Ck(ClCm), CkCl=Ckl=Clk=ClCk, C1Ck=Ck=CkC1, (Ck+Cl)Cm=C(k+l)m=Ckm+lm=CkCm+ClCm, то (Z_n,{+},{\cdot}) является ассоциативным коммутативным кольцом с единицей C1 кольцом вычетов по модулю n ).

Свойства колец (R,+,.)

  1. Так как (R,+) - абелева группа, то: существует, и единственный, нейтральный элемент относительно сложения 0 ; для любого a\in R существует, и единственный, противоположный элемент -a (т. е. a+(-a)=0 ); уравнение x+b=a имеет, и единственное, решение x=a-b=a+(-b).
  2. Справедлив обобщенный закон ассоциативности для умножения, т. е. результат произведения для n сомножителей не зависит от расстановки скобок; единичный элемент 1 - единственный нейтральный элемент (см. теорему 1.3.2).
  3. Проводя индукцию по n, убеждаемся в том, что (a1+...+an)b = a1b+...+anb; b(a1+...+an) = ba1+...+ban.
  4. Так как a0=a(0+0)=a0+a0, то a0=0. Аналогично, 0a=0.
  5. Так как ab+(-a)b=(a+(-a))b=0b=0, то (-a)b=-ab. Аналогично, a(-b)=-ab. Поэтому (-a)(-b)=-(a(-b))=-(-ab)=ab.
  6. (a-b)c=(a+(-b))c=ac+(-b)c=ac-bc, c(a-b)=c(a+(-b))=ca+c(-b)=ca-cb, т. е. дистрибутивность для разности.

Лемма 1.10.3 (бином Ньютона). Пусть R - кольцо с 1, n\in N, a,b,a_1,a_2,...,a_s\in R. Тогда:

  1. если ab=ba, то (a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}C_n^k a^k b^{n-k},\ \ \text{где}\ \ C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!},\ \ C_n^0=1;
  2. если aiaj=ajai для всех i, j, то (a_1+a_2+...+a_s)^n = \sum \frac{n!}{(i_1!)... (i_s!)}a_1^{i_1}... a_s^{i_s}, где суммирование происходит по всем s -строчкам (i1,i2,...,is) таким, что i1+i2+...+is=n.

Доказательство.

  1. Индукция по n с учетом равенства C_n^k+C_n^{k-1}=C_{n+1}^{k+1} для k<n и применением перестановочности элементов a и b и закона дистрибутивности.
  2. Индукция по s ; s=2 - пункт 1); если утверждение верно для s, то по 1): \begin{align*} & (a_1+...+a_s+a_{s+1})^n=((a_1+...+a_s)+a_{s+1})^n={}
\\ & \quad {}=\sum_{k=0}^{n} C_n^k (a_1+...+a_s)^k a_{s+1}^{n-k}=
\sum_{k+j=n} \frac{n!}{k!j!}(a_1+...+a_s)^k a_{s+1}^j={}
\\ & \quad {}=\sum_{k+j=n} \frac{n!}{k!j!}
\sum_{\substack{(i_1,...,i_s)\\ i_1+...+i_s=k}}
\frac{k!}{(i_1!)... (i_s!)}a_1^{i_1}a_2^{i_2}... a_s^{i_s}a_{s+1}^j={}
\\ & \quad {}=\sum_{\substack{(i_1,...,i_{s+1})\\ i_1+...+i_{s+1}=n}}
\frac{n!}{(i_1!)... (i_{s+1}!)}
a_1^{i_1}a_2^{i_2}... a_{s+1}^{i_{s+1}}\quad (j=i_{s+1}).
\end{align*}

Определение 1.10.4. Подмножество S кольца R называется подкольцом, если:

а) S - подгруппа относительно сложения в группе (R,+) ;

б)для a,b\in S имеем ab\in S ;

в)для кольца R с 1 предполагается, что 1\in S.

Примеры 1.10.5 (примеры подколец). {\mathbb Z} \subset  {\mathbb Q} \subset  {\mathbb R}

Задача 1.10.6. Описать все подкольца в кольце вычетов Zn по модулю n.

Замечание 1.10.7. В кольце Z10 элементы, кратные 5, образуют кольцо с 1, не являющееся подкольцом в Z10 (у этих колец различные единичные элементы).

Определение 1.10.8. Если R - кольцо, a,b\in R и a\ne 0, b\ne 0, ab=0, то элемент a называется левым делителем нуля в R, элемент b называется правым делителем нуля в R.

Замечание 1.10.9. В коммутативных кольцах, естественно, нет различий между левыми и правыми делителями нуля.

Пример 1.10.10. В Z, Q, R нет делителей нуля.

Пример 1.10.11. Кольцо непрерывных функций C[0,1] имеет делители нуля. Действительно, если


то f\ne 0, g\ne 0, fg=0.

Пример 1.10.12. Если n=kl, 1<k,l<n, то C_k\ne C_0, C_l\ne C_0, но CkCl=C0, т. е. кольцо вычетов Z_n по составному числу n имеет делители нуля.

Лемма 1.10.13. Если в кольце R нет (левых) делителей нуля, то из ab=ac, где 0\ne a\in R, b,c\in R, следует, что b=c (т. е. возможность сокращать на ненулевой элемент слева, если нет левых делителей нуля; и справа, если нет правых делителей нуля).

Доказательство. Если ab=ac, то a(b-c)=0. Так как a не является левым делителем нуля, то b-c=0, т. е. b=c.

Определение 1.10.14. Элемент x\in R называется нильпотентным, если xn=0 для некоторого 0<n\in N . Наименьшее такое натуральное число n называется степенью нильпотентности элемента .

Ясно, что нильпотентный элемент является делителем нуля (если n>1, то x\cdot x^{n-1}=0, x^{n-1}\ne 0 ). Обратное утверждение неверно (в Z6 нет нильпотентных элементов, однако 2, 3, 4 - ненулевые делители нуля).

Упражнение 1.10.15. Кольцо Zn содержит нильпотентные элементы тогда и только тогда, когда n делится на m2, где m\in N, m\ne 1.

Определение 1.10.16. Элемент x кольца R называется идемпотентом, если x2=x . Ясно, что 02=0, 12=1. Если x2=x и x\ne 0, x\ne 1, то x(x-1)=x2-x=0, и поэтому нетривиальные идемпотенты являются делителями нуля.

Через U(R) обозначим множество обратимых элементов ассоциативного кольца R, т. е. тех r\in R, для которых существует обратный элемент s=r-1 (т. е. rr-1=1=r-1r ).

Лемма 1.10.17. U(R) является группой относительно операции умножения.

Доказательство.

  1. 1) Если r,s\in U(R), то rs\in U(R), поскольку (rs)-1=s-1r-1.
  2. 2) 1\in U(R).
  3. 3) Если r\in U(R), то (r-1)-1=r, т. е. r^{-1}\in U(R).

Пример 1.10.18. U(Z)={1,-1}, U(Q)=Q^*=Q\setminus\{0\}, U(R)=R*.

Пример 1.10.19. U(C[0,1])=\{f\in C[0,1]\mid f(x)\ne 0\ \forall x\in [0,1]\}.

Пример 1.10.20. Пусть Zm={C0,C1,...,Cm-1}, Ck=k+mZ, - кольцо вычетов по модулю m. Отметим, что k+mZ\in U(Z_m), k\inZ, тогда и только тогда, когда (k+mZ)(l+mZ)=1+mZ для некоторого l\inZ, т. е. kl+mZ=1+mZ, что означает kl=1+mq, q\inZ, т. е. (k,m)=1.

Итак, |U(Z_m)|=\varphi(m), где \varphi(m) - число натуральных чисел 1 \leq k<m, не имеющих нетривиальных общих делителей с числом m (функция Эйлера). В частности, \varphi(1)=1, \varphi(2)=1, \varphi(3)=2, \varphi(4)=2, \varphi(p)=p-1 для простого числа p. Более того, если p\in N, то \varphi(p)=p-1 тогда и только тогда, когда p - простое число.

Задача 1.10.21. Докажите, что группа U(Zn) циклическая тогда и только тогда, когда n\in \{2,4,p^{\alpha}, 2p^{\alpha}\}, где p - нечетное простое число.

< Лекция 2 || Лекция 3: 123 || Лекция 4 >
Надие Якубова
Надие Якубова
Ксения Голубова
Ксения Голубова
Stefan Berzan
Stefan Berzan
Молдова, Кишинев
Владимир Потехин
Владимир Потехин
Россия