Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Опубликован: 09.09.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 5304 / 588 | Оценка: 4.35 / 3.78 | Длительность: 13:51:00
ISBN: 978-5-9556-0038-3
Специальности: Математик
Лекция 3:

Кольца. Поля. Идеалы и гомоморфизмы колец

< Лекция 2 || Лекция 3: 123 || Лекция 4 >

Идеалы и гомоморфизмы колец

Определение 1.12.1. Пусть R - кольцо. Подмножество \emptyset\ne I\subset R называется левым идеалом кольца R, если:

  1. I - подгруппа аддитивной группы (R,+) кольца R ;
  2. rI\subseteq I для любого элемента r\in R (т. е. ri\in I для всех i\in I ).

Аналогично определяется правый идеал: вместо 2) условие

2') Ir\subseteq I для любого элемента r\in R (т. е. ir\in I для всех i\in I ).

Если подмножество I в кольце R является и левым и правым идеалом, то I называется двусторонним идеалом кольца R (т. е. I - подгруппа в (R,+), rI\subseteq I, Ir\subseteq I для всех r\in R ). Для двустороннего идеала I кольца R будем использовать обозначение I\lhd R.

Примеры 1.12.2.

  1. {0} и R - идеалы кольца R.
  2. Z n\lhd Z для любого n\in Z.
  3. I_a=\{f\in C[0,1]\mid f(a)=0\}\lhd C[0,1] для любого a\in [0,1].
  4. Если R - коммутативное кольцо, a\in R, то подмножество Ra=\{ra\mid r\in R\} является идеалом кольца R, называемым главным идеалом, порожденным элементом a\in R .

Упражнение 1.12.3. Покажите, что в кольце целых чисел (Z,{+},{\cdot}) каждый идеал имеет вид Z n, n\inZ, т. е. каждый идеал является главным (такие коммутативные кольца называются кольцами главных идеалов).

Пусть R и R' - кольца. Отображение f: R\to R' называется гомоморфизмом колец, если f(a+b)=f(a)+f(b) и f(ab)=f(a)f(b) для всех a,b\in R .

Через Im f обозначим образ гомоморфизма f, т. е. \text{Im} f =\{f(r)\in R'\mid r\in R\}; через Ker f - ядро гомоморфизма f, т. е. \text{Ker} f=\{a\in R\mid f(a)=0\}. Если гомоморфизм f является биекцией, то f называется изоморфизмом колец .

Отметим ряд свойств гомоморфизмов колец f: R\to R'.

  1. Так как f - гомоморфизм абелевых групп (R,+), (R',+), то f(0)=0', f(-a)=-f(a).
  2. Если R \ni 1, R' \ni 1' и \text{Im} f=R', то f(1)=1', f(a-1)=f(a)-1 для обратимого элемента a. Действительно, если a'\in R', то a'=f(a), a\in R. Тогда \begin{align*}
f(1)a' &= f(1)f(a)=f(1\cdot a)=f(a)=a',\\
a'f(1) &= f(a)f(1)=f(a\cdot 1)=f(a)=a',
\end{align*}
т. е. f(1)=1' ;f(a-1)f(a) = f(a-1a)=f(1)=1', f(a)f(a-1) = f(aa-1)=f(1)=1', т. е. f(a-1)=f(a)-1.

    Это утверждение может не быть верным, если \text{Im} f\ne R'.

  3. Если f: R\to R' - гомоморфизм колец, то Ker f - двусторонний идеал кольца R.

    Доказательство. Так как f: (R,{+})\to (R',{+}) - гомоморфизм групп, то Ker f - подгруппа в (R,+).

    Если a\in\text{Ker} f, т. е. f(a)=0, r,s\in R, то

    \begin{align*}
f(ra)&=f(r)f(a)=f(r)\cdot 0=0,\\
f(as)&=f(a)f(s)=0\cdot f(s)=0,
\end{align*}
    итак, ra\in\text{Ker} f, as\in\text{Ker} f, т. е. \text{Ker} f\lhd R.

  4. Гомоморфизм колец f: R\to R' является изоморфизмом тогда и только тогда, когда \text{Ker} f=\{0\} и \text{Im} f=R' (следует вспомнить критерий изоморфизма для гомоморфизмов групп, см. лемму 1.9.29).

    Ясно, что изоморфные кольца обладают одинаковыми кольцевыми свойствами. Например, если f: R\to R' - изоморфизм колец, R - поле, то R' также поле.

Упражнение 1.12.4. Если R - коммутативное кольцо, то R - поле тогда и только тогда, когда в R нет идеалов, отличных от {0} и R.

Упражнение 1.12.5. Отображение Z_3\toZ_6, при котором k+3Z\mapsto 4k+6Z, является инъективным гомоморфизмом колец.

< Лекция 2 || Лекция 3: 123 || Лекция 4 >
Акерке Садыкбекова
Акерке Садыкбекова
Надие Якубова
Надие Якубова