Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Опубликован: 09.09.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 5061 / 527 | Оценка: 4.35 / 3.78 | Длительность: 13:51:00
ISBN: 978-5-9556-0038-3
Специальности: Математик
Лекция 7:

Системы линейных уравнений

< Лекция 6 || Лекция 7: 123 || Лекция 8 >
Аннотация: В данной лекции рассматриваются системы линейных уравнений. Рассматриваются методы их решения, приведены основные определения, рассмотрены элементарные преобразования систем, условия их совместности. Рассмотрен ряд характерных задач, доказаны основные теоремы, а также приведены задачи для самостоятельного рассмотрения

Системы линейных уравнений

В средней школе рассматривались линейные уравнения ax=b и системы линейных уравнений

\left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
ax+by=e,\\
cx+dy=f,
\end{array}
\right.
где a, b, c, d, e, f \in  R - действительные числа.

В излагаемой теории систем линейных уравнений мы будем совершать с коэффициентами операции сложения и умножения, а также делить (т. е. умножать на обратный элемент) на ненулевой элемент. Таким образом, естественно рассматривать системы линейных уравнений с коэффициентами из произвольного поля K. Для понимания основных моментов теории систем линейных уравнений можно считать, что K - поле R действительных чисел.

Наша ближайшая цель - исследовать системы m линейных уравнений общего вида от n переменных x1, x2, x3,...,xn

\begin{equation}\label{eq1.1}
\left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1,\\
a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2,\\
\dotfill\\
a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+...+a_{mn}x_n=b_m,
\end{array}
\right.
\end{equation} ( 3.1)
где m,n \in  N, a_{ij},b_i \in K.

Таким образом, i -е уравнение, 1\le i \le m, нашей системы записывается в виде ai1x1+ai2x2+ ... +ainxn=bi ( aij - коэффициент при переменной xj в i -м уравнении, bi - свободный член i -го уравнения), или, кратко,

\sum_{j=1}^n a_{ij}x_j=b_i.
Прямоугольная (m \times n) - таблица коэффициентов a_{ij} \in K ( m строк, n столбцов)
A= \begin{pmatrix}
a_{11}& a_{12}& a_{13} &... &a_{1n}\\
a_{21}& a_{22}& a_{23} &... &a_{2n}\\
\hdotsfor{5}\\
a_{m1}& a_{m2}& a_{m3} &... &a_{mn}
\end{pmatrix}
называется матрицей коэффициентов системы линейных уравнений (3.1), а прямоугольная (m \times (n+1)) -матрица ( m строк, n+1 столбец)
A(a_{ij}|b_i)=
\left(\left.
\begin{matrix}
a_{11} &a_{12} &a_{13} &... &a_{1n}\\
a_{21} &a_{22} &a_{23} &... &a_{2n}\\
\hdotsfor{5}\\
a_{m1} &a_{m2} &a_{m3} &... &a_{mn}
\end{matrix}
\right|
\begin{matrix}
b_1\\
b_2\\
...\\
b_m
\end{matrix}
\right)
называется расширенной матрицей системы линейных уравнений (3.1) (уже полностью ее определяющей).

Если m=n (число уравнений равно числу переменных), то система линейных уравненийматрица A=\left(
\begin{smallmatrix}
a_{11}&... & a_{1n}\\
\multispan{3}{\dotfill}\\
a_{n1}&... & a_{nn}
\end{smallmatrix}\right) ее коэффициентов при переменных) называется квадратной.

В квадратной матрице

\begin{pmatrix}
a_{11}& ... &a_{1n}\\
\hdotsfor{3}\\
a_{n1}& ... &a_{nn}
\end{pmatrix}
можно определить диагональ и побочную диагональ:
\begin{pmatrix}
a_{11}\\
&a_{22}\\
&&\ddots\\
&&&a_{nn}
\end{pmatrix};
\quad
\begin{pmatrix}
\phantom{a_{11}}&&&a_{1n}\\
&\phantom{a_{22}}&a_{2(n-1)}\\
&\revddots&&\phantom{\ddots}\\
a_{n1}&&\phantom{a_{nn}}
\end{pmatrix}.
Если в системе линейных уравнений b1=...=bm=0, то система называется однородной .

Совокупность решений системы линейных уравнений

Определение 3.1.1. Решением системы линейных уравнений (3.1) называется строчка n элементов поля K (l1,...,ln), l_i \in K, такая, что при подстановке в i -е уравнение, 1\leq i \leq m, l1 вместо x1, l2 вместо x2,...,li вместо xi,...,ln вместо xn получаем bi (свободный член i -го уравнения), т. е.

\sum_{j=1}^{n} a_{ij}l_j=b_i.

Таким образом, строчка (l1, ..., ln) является решением, если значения l1, ..., ln соответственно для x1, ..., xn удовлетворяют всем m уравнениям системы (3.1).

Через X обозначим совокупность всех решений системы линейных уравнений (3.1).

Замечание 3.1.2.

  1. X \subseteq K^n (т. е. совокупность всех решений является подмножеством в множестве Kn всех строк длины n элементов из поля K ).
  2. Возможно, что X=\varnothing (т. е. система линейных уравнений не имеет решений), в этом случае система называется несовместной .
  3. Если X\ne\varnothing (т. е. система имеет решение), то система (3.1) называется совместной . Например, однородная система линейных уравнений всегда имеет нулевое решение, (0,...,0)\in X\subseteq K^n.

Если система имеет только одно решение ( |X|=1 ), то система называется определенной . Если |X| > 1, то совместная система называется неопределенной . Итак, для числа решений имеются следующие возможности:

Число решений
0 1 >1
Система несовместная, X=\varnothing Система определенная, |X|=1 Система неопределенная, |X|>1
Примеры
\left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
x_1+x_2=0,\\
x_1+x_2=1
\end{array}
\right.

X=\varnothing

несовместная с. л. у.

\left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
x_1+x_2=1,\\
x_1-x_2=0
\end{array}
\right.

X=\left\{\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)\right\}

|X|=1

определенная с. л. у.

\left\{
\begin{array}{@{}l@{}}
x_1+x_2=1
\end{array}
\right.

x_2=c\in K, x_1=1-c X=\{ (1-c,c)\mid\allowbreak c \in K \}

|X|=|K|>1

неопределенная с. л. у.

Основная задача исследования систем линейных уравнений (3.1) заключается в описании (нахождении) множества решений X \subseteq K^n (в частности, определения, к какому типу принадлежит система (3.1): несовместная, определенная, неопределенная).

< Лекция 6 || Лекция 7: 123 || Лекция 8 >
Надие Якубова
Надие Якубова
Ксения Голубова
Ксения Голубова