Системы линейных уравнений
Приведение системы линейных уравнений с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду
Определение 3.5.1 (определение ступенчатой матрицы (системы)). Под ступенчатой системой линейных уравнений понимается система линейных уравнений со ступенчатой матрицей коэффициентов, т. е.:
- все нулевые строки находятся в матрице ниже ненулевых строк;
- если (0,...,0,aik,...,ain), - первый ненулевой элемент в i -й строке (называемый лидером i -й строки), то ars=0 для всех , (элементы ars=0 для всех мест (r,s), расположенных в строчках, ниже i -й, и в столбцах s=1,2,...,k ). Другими словами, лидер строки с большим номером стоит строго правее.
Определение 3.5.2. Ненулевая матрица имеет главный ступенчатый вид, если матрица A имеет ступенчатый вид, все лидеры ненулевых строк ( ) равны 1 и для каждого j, , в lj -м столбце матрицы A единственный ненулевой элемент - это .
Примеры 3.5.3. Матрица
имеет ступенчатый вид (выделены лидеры строк), но не главный ступенчатый вид.Матрица
имеет главный ступенчатый вид.Нулевая матрица имеет ступенчатый вид.
Матрица
не является ступенчатой (нулевая строка находится выше ненулевых строк).Матрицы
не являются ступенчатыми (лидер третьей строки находится не строго правее, чем лидер второй строки).Замечание 3.5.4. Свойство быть ступенчатой матрицей алгоритмически (с помощью компьютера) распознаваемо.
Лемма 3.5.5. Пусть , ak - лидер строки , bl - лидер строки , , cm - лидер строки , ci=ai+bi, . Тогда:
- ;
- если k<m, то k=l.
Доказательство.
- Так как , то и поэтому (если bk=-ak, то ak+bk=0, и тогда k<m ).
- Пусть k<m. Если k<l, то bk=0, и поэтому k = m, что противоречит k<m.
Итак, k=l.
Следствие 3.5.6. Пусть , , , , , , - лидер строки , - лидер строки . Тогда .
Теорема 3.5.7 (алгоритм Гаусса). Всякую систему линейных уравнений конечным числом элементарных преобразований 1-го и 2-го типов можно привести к ступенчатому виду (т. е. к системе линейных уравнений, матрица коэффициентов которой является ступенчатой матрицей).
Доказательство. Можно считать, что не все коэффициенты aij равны нулю и, более того, что при x_1 (т. е. в первом столбце матрицы коэффициентов) есть ненулевой элемент (в противном случае можно перейти к системе от переменных x2,...,xn ). Если a11=0, то, переставляя 1 -е и j -е уравнения (строки расширенной матрицы) (т. е. совершая преобразование 2-го типа), приходим к случаю, когда .
Для i=2,3,...,m последовательно проведем преобразования 1-го типа
(здесь ). Тогда Рассматривая получившиеся уравнения, если среди коэффициентов есть ненулевые (пусть k - первый столбец с ненулевым элементом alk' среди a2k',...,amk' ), повторим нашу процедуру: переставим второе уравнение (строку) с l -м уравнением (строкой) и обеспечим нули ниже коэффициента a2k'.Этот процесс остановится в том случае, когда все коэффициенты при переменных в оставшихся уравнениях равны нулю.
Итак, окончательная получившаяся система линейных уравнений будет иметь ступенчатый вид (т. е. матрица коэффициентов при переменных x1,x2,...,xn будет иметь ступенчатый вид).
( 3.2) |
Замечания 3.5.8.
- Важный инвариант - число r уравнений в ступенчатом виде с ненулевыми коэффициентами при переменных, т. е. число "ступенек", . Возможен случай r=m (т. е. блок уравнений с нулевыми коэффициентами при x1,...,xn отсутствует). Независимость числа r от способа приведения к ступенчатому виду будет установлена позже (это - ранг матрицы коэффициентов).
- Можно было бы продолжить процесс приведения к ступенчатому виду для расширенной матрицы системы линейных уравнений.
Следствие 3.5.9. Всякая система линейных уравнений эквивалентна некоторой ступенчатой системе линейных уравнений.
Следствие 3.5.10. Каждую матрицу элементарными преобразованиями строк 1-го и 2-го типа можно привести к ступенчатому виду.