Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Опубликован: 09.09.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 5303 / 588 | Оценка: 4.35 / 3.78 | Длительность: 13:51:00
ISBN: 978-5-9556-0038-3
Специальности: Математик
Лекция 3:

Кольца. Поля. Идеалы и гомоморфизмы колец

< Лекция 2 || Лекция 3: 123 || Лекция 4 >

Поля

Определение 1.11.1. Ассоциативное коммутативное кольцо K с 1, в котором для любого ненулевого элемента a\in K существует обратный элемент a-1, называется полем .

Лемма 1.11.2. Если K - поле, то уравнение ax=b, где a\ne 0, имеет одно и только одно решение (именно, a-1b ).

Доказательство. Если ax=b, то x=a-1ax=a-1b. Если x=a-1b, то ax=a(a-1b)=b.

Теорема 1.11.3. В поле K нет делителей нуля.

Доказательство. Допустим, что a,b\in K, a\ne 0, b\ne 0 и ab=0. Тогда b=a-1(ab)=a-10=0, противоречие.

Замечание 1.11.4. Обратное утверждение неверно. В кольце Z целых чисел нет делителей нуля, но оно не является полем.

Пример 1.11.5. Q, R, Z2 - поля.

Теорема 1.11.6. Кольцо вычетов Zn является полем полем вычетов тогда и только тогда, когда n=p является простым числом.

Доказательство. Если n=p - простое число, то Zp - кольцо без делителей нуля (действительно, если CkCl=C0, C_k\ne C_0, C_l\ne C_0, то kl=pq, но k и l не делятся на p, что приводит к противоречию). Доказательство завершает следующая лемма.

Лемма 1.11.7. Конечное коммутативное кольцо без делителей нуля является полем.

Доказательство. Пусть R={r0=0,r1=1,...,rn-1} - кольцо из n элементов без делителей нуля. Для r_k\ne 0, 1 \leq k \leq n-1, все произведения rkr1,...,rkrn-1 различны, поскольку r_k не является делителем нуля. Следовательно, найдется i, для которого rkri=1, т. е. r_i=r_k^{-1}.

Лемма 1.11.8. Пересечение \bigcap\limits_{i\in I}K_i любого семейства подполей Ki, i\in I, поля K является подполем.

Упражнение 1.11.9. Через Q[\sqrt{2}] обозначим наименьшее подполе в R, содержащее поле Q и элемент \sqrt{2} (существующее по лемме 1.11.8). Покажите, что поля Q[\sqrt{2}] и Q[\sqrt{3}] не являются изоморфными.

Определение 1.11.10. Рассмотрим поле K как абелеву группу (K,+) относительно сложения, пусть O(1) - порядок элемента 1 в этой группе. Если O(1)=\infty, то говорят, что характеристика char K поля K равна 0 (т. е. для любых целых чисел k,l\in Z из k\ne l следует, что k\cdot 1\ne l\cdot 1 в K ). Если O(1)=p<\infty, то полагают char K=p и говорят, что K - поле конечной характеристики p (т. е. p - наименьшее натуральное число, для которого p\cdot 1=\smash[b]{\underbrace{1+...+1}_p}=0 ).

Примеры 1.11.11.

  1. char Q=0, char R=0.
  2. char Zp=p (для простого числа p ).

Теорема 1.11.12. Если K - поле и char K=p>0, то p - простое число.

Доказательство. Допустим противное, т. е. что p=st, где 1<s,t<p. Тогда

(s\cdot 1)(t\cdot 1)= (\underbrace{1+...+1}_s)(\underbrace{1+...+1}_t)= st\cdot 1=p\cdot 1=0,
но s\cdot 1\ne 0, t\cdot 1\ne 0 в поле K, что противоречит отсутствию делителей нуля в поле.

< Лекция 2 || Лекция 3: 123 || Лекция 4 >
Акерке Садыкбекова
Акерке Садыкбекова
Надие Якубова
Надие Якубова