Группы
Теорема 1.9.16. Пусть G - группа, - любое семейство подгрупп группы G. Тогда их пересечение также является подгруппой.
- Если , то для каждого i. Так как Hi - подгруппа, то для каждого i, и поэтому .
-
Если , то для каждого i. Так как Hi - подгруппа, то для каждого i, и поэтому .
Итак, - подгруппа группы G.
Примеры 1.9.17 (примеры подгрупп).
- Четные числа 2Z - подгруппа в группе целых чисел (Z,+).
- , , - подгруппы.
- В любой группе G имеем наименьшую подгруппу H={e} (и наибольшую подгруппу H=G ).
Задача 1.9.18. Группа, имеющая лишь конечное число подгрупп, конечна.
Пусть a - элемент группы G. Рассмотрим в G следующее подмножество: (т. е. совокупность всех целых степеней элемента a ).
Лемма 1.9.19.
- является коммутативной подгруппой группы ;
- (т. е. число элементов в подгруппе равно порядку элемента ).
- Для . Таким образом, для (a) выполнены условия предыдущей леммы, т. е. - подгруппа группы G. Так как aman=am+n=anam, то (a) - коммутативная группа.
- Если , то (a)={...,a-1,e,a,...}, при этом в ряду целых степеней элемента a все элементы различны, т. е. . Если же , то, как мы отметили ранее, (a)={e,a,...,an-1} и |(a)|=n=O(a)
Пример 1.9.20. Если G=Z и a=2, то (все четные числа).
Группа G называется циклической, если найдется такой элемент , что (a)=G, т. е. все элементы группы G являются (целыми) степенями этого элемента a , называемого в этом случае циклическим образующим группы G. Если , то G=(a) - циклическая группа из n элементов; если же , то G=(a) - бесконечная (счетная!) циклическая группа.
Замечание 1.9.21. Любая циклическая группа G=(a) является конечной или счетной коммутативной группой. Поэтому любая некоммутативная группа не является циклической и любая несчетная группа не является циклической группой.
Примеры 1.9.22.
- (Z,+)=(1)=(-1) (это показывает, что циклических образующих может быть много!).
- Группа действительных чисел (R,+) не является счетной, поэтому она не является циклической.
- Показать, что счетная группа (Q,+) рациональных чисел не является циклической.
Пусть G и G' - группы. Напомним, что отображение , для которого f(ab)=f(a)f(b) для всех элементов , называется гомоморфизмом .
Пример 1.9.23. Пусть с операцией умножения, G'=(R,+) с операцией сложения. Так как для отображения имеем для всех , то - гомоморфизм групп.
Упражнение 1.9.24. Найти все гомоморфизмы , где G=(a), O(a)=m, G'=(b), O(b)=n (в частности, для m=12, n=15 ).
Для гомоморфизмов определим: образ гомоморфизма f ); , где e' - нейтральный элемент группы G' ядро гомоморфизма f ).
Упражнение 1.9.25. В рассмотренных выше примерах найти образ и ядро гомоморфизма.
Задача 1.9.26. Доказать, что не существует сюръективного гомоморфизма .
Указание. В (Q,+) уравнение nx=a имеет (и единственное) решение для любых , .
Теорема 1.9.27 (свойства гомоморфизма групп). Пусть G и G' - группы, e и e' соответственно - их нейтральные элементы, - гомоморфизм групп. Тогда:
- f(e)=e' ;
- f(x-1)=(f(x))-1 для всех ;
- H'= Im f - подгруппа группы G' ;
- если G=(a) - циклическая группа, то Im f=(f(a)) также циклическая группа;
- f(g-1hg)=(f(g))-1f(h)f(g) ;
- Ker f - подгруппа группы G, при этом для всех элементов .
- Так как u=f(e)=f(e2)=f(e)f(e)=u2, то u=e', т. е. f(e)=e'.
- Так как f(x-1)f(x)=f(x-1x)=f(e)=e' и f(x)f(x-1)=f(xx-1)=f(e)=e', то f(x-1)=(f(x))-1.
- Если h1'=f(g1) и h2'=f(g2) - элементы из , где , то . Если , , то . Итак, - подгруппа группы G'.
- Если G=(a) и , h'=f(g), , то g=an, , и поэтому h'=f(g)=f(an)=(f(a))n. Итак, - циклическая группа с образующим f(a).
- следует из 2).
- Если , то f(h1)=e', f(h2)=e'. Поэтому , т. е. .
Если , то f(h)=e', и поэтому f(h-1)=(f(h))-1=(e')-1=e', т. е. . Таким образом, Ker f - подгруппа группы G.
Если , то f(h)=e'. Для любого элемента имеем f(g-1hg)=f(g-1)f(h)f(g)=f(g)-1e'f(g)=e'. Таким образом, для всех элементов .
Лемма 1.9.28. Если G, G', G'' - группы, , - гомоморфизмы, то - гомоморфизм.
Доказательство. Пусть . Тогда (gf)(ab)=g[f(ab)]=g[f(a)f(b)]=[g(f(a))]\,[g(f(b))]=[(gf)(a)]\,[(gf)(b)].
Лемма 1.9.29. Пусть G, G' - группы, - гомоморфизм групп. Тогда:
- f - инъекция в том и только в том случае, когда ;
- f - биекция в том и только в том случае, когда , .
Доказательство. Достаточно доказать 1). Если f - инъекция, то, учитывая равенство f(e)=e', видим, что . Пусть теперь . Если f(a)=f(b) для , то f(a-1b)=f(a-1)f(b)=[f(a)]-1f(b)=e', т. е. . Поэтому a-1b=e, т. е. a=b. Итак, f - инъекция.
Определение 1.9.30. Пусть G, G' - группы. Отображение назовем изоморфизмом групп, если:
- f - гомоморфизм;
- f - биекция.
Группы G и G' называются изоморфными если существует какой-либо изоморфизм (обозначение ).,
Примеры 1.9.31. Следующие отображения - изоморфизмы групп:
- ;
- , .
Лемма 1.9.32. Если G, G', G'' - группы, , - изоморфизмы, то gf и f-1 - изоморфизмы (см. лемму 1.2.2).
а) По лемме 1.9.29, gf - гомоморфизм. Так как gf и биекция, то gf - изоморфизм.
б) Мы знаем, что f-1 - биекция. Пусть . Тогда w=f(x), z=f(y), где . Следовательно, wz=f(x)f(y)=f(xy). Поэтому f-1(wz)=f-1(f(xy))=xy=f-1(w)f-1(z), т. е. f-1 - гомоморфизм. Итак, f-1 - изоморфизм.
Следствие 1.9.33. Отношение является отношением эквивалентности на классе групп.
Замечание 1.9.34. Изоморфные группы обладают одинаковыми "алгебраическими" свойствами.
Пример 1.9.35. Если группы G и G' изоморфны и G - коммутативная группа, то G' - также коммутативная группа. Действительно, пусть - некоторый изоморфизм. Если , то z=f(a), w=f(b) для некоторых . Тогда zw=f(a)f(b)=f(ab)=f(ba)=f(b)f(a)=wz.