Основные алгебраические структуры и операции
Произведение отображений
Определение 1.6.1.
Для диаграммы отображений
определим произведение (иногда называемое композицией или суперпозицией) отображений и следующим образом: для .Замечание 1.6.2.
Не любые два отображения можно перемножить!
Примеры 1.6.3.
- Если - тождественное отображение множества U, - тождественное отображение множества V, , то f1U=f=1Vf.
- Если , f(k)=k+1 для , f(n)=1, то fn=1U, где U={1,2,...,n}.
Теорема 1.6.4 (об ассоциативности произведения отображений).
Для диаграммы отображений имеем h(gf)=(hg)f.
Доказательство. Ясно, что
Для любого имеем (h(gf))(u)=h((gf)(u))=h(g(f(u))), ((hg)f)(u)=(hg)(f(u))=h(g(f(u))), таким образом, (h(gf))(u)=((hg)f)(u) для всех , следовательно, h(gf)=(hg)f.Моноид отображений множества
Пусть U - множество, - совокупность всевозможных отображений с операцией произведения отображений. В силу доказанной теоремы 1.6.4 эта операция ассоциативна. Нейтральным элементом относительно этой операции является тождественное отображение 1U. Итак, T(U) - полугруппа с единицей, т. е. моноид.
Задача 1.7.1.
Моноид отображений T(U) множества U коммутативен тогда и только тогда, когда |U|=1 (т. е. множество U состоит из одного элемента).
Указание
Если , то рассмотрим отображение , fa(u)=a для всех . Если , то .