Поле C комплексных чисел
Сопряжение комплексных чисел
Каждому комплексному числу сопоставим комплексное число , называемое комплексно сопряженным. Геометрическая интерпретация перехода от z=a+bi к сопряженному комплексному числу z=a-bi прозрачна: это отражение относительно вещественной оси:
Теорема 2.3.1.
- Операция комплексного сопряжения является автоморфизмом поля C комплексных чисел (т. е. биекцией, для которой , для и, как следствие, для ), оставляющим все действительные числа и только их на месте ( a=a для ; если z=z, то ).
- Квадрат комплексного сопряжения равен тождественному отображению ( ).
- Если , , то , , , при этом N(wz)=N(w)N(z) для .
- Если - такой автоморфизм поля C комплексных чисел, что f(a)=a для всех , то либо f=1C, либо для (тем самым показано, что группа Галуа расширения состоит из двух элементов).
Доказательство.
- Ясно, что соответствие
является биекцией.
Если z=a+bi, w=c+di, то z+w = (a+b)+(c+d)i=(a+b)-(c+d)i= =(a-ci)+(b-di)=z+w; -z=-a-bi=-a+bi=-(a-bi)=-(z); z-w=z+(-w)=z-w; zw=(ac-bd)+(ad+bc)i=(ac-bd)-(ad+bc)i= =(a-bi)(c-di)=zw.
Если , то , т. е. . Поэтому
Если , то z=a. Если z=a+bi, то z=z означает, что z=a+bi=a-bi=z, т. е. b=-b, поэтому b=0 и . Итак, z=z тогда и только тогда, когда .
- .
- Если z=a+bi, то Далее,
- Так как i2=-1, то f(i)^2=f(-1)=-1, поэтому
либо f(i)=i, и тогда f(a+bi)=f(a)+f(b)f(i)=a+bi },
либо f(i)=-i, и тогда f(a+bi)=f(a)+f(b)f(i)=a-bi
Замечание 2.3.2.
- Если комплексное число получено как выражение из комплексных чисел с помощью операций сложения, вычитания, умножения и деления, то то же выражение из комплексных чисел дает .
- Правило деления комплексного числа w=c+di на ненулевое комплексное число (в алгебраической форме):
Полярные координаты точек плоскости (отличных от начала координат)
Точка плоскости (a,b), отличная от начала координат (0,0), однозначно задается своими полярными координатами r, , где r - расстояние от данной точки до начала координат, - угол между положительной полуосью абсцисс и радиусом-вектором точки (a,b), отсчитываемый против часовой стрелки (определенный с точностью до , , и называемый аргументом точки (a,b) ).
Аргумент точки 0=(0,0) не определен.
Формулы перехода от декартовых координат a и b точки (a,b) к полярным координатам и обратно:
Свойства модуля комплексных чисел
Для комплексного числа определим его модуль как
(в геометрической интерпретации на плоскости C= R2 модуль комплексного числа - это расстояние от точки (0,0) до точки (a,b), т. е. длина вектора z ).Пример 2.5.1.
- Если , то , т. е. функция модуль комплексного числа является продолжением функции модуль действительного числа .
- |i|=1, .
- для .
- для .
Лемма 2.5.2. |wz|=|w|*|z| для .
Доказательство.
Другое доказательство этого факта следует из свойств тригонометрической формы.
Следствие 2.5.3.
- Если w=z-1 для , то 1=|1|=|z-1z|=|z-1|,|z|, поэтому
- Для , :
Лемма 2.5.4. для .
Первое доказательство. Длина |w+z| стороны треугольника не превосходит суммы длин |w|+|z| двух других сторон.
Второе доказательство. Если w=0 или z=0, то утверждение очевидно.
Пусть теперь и . Так как для z=a+bi имеем
то и поэтому, поскольку , , . Далее,Следствие 2.5.5. для .
Доказательство.
- .
- Так как , то .
- .