Поле C комплексных чисел
Тригонометрическая форма ненулевого комплексного числа
Используя полярные координаты, модуль и аргумент , для комплексного числа z=a+bi и принимая во внимание, что , , получаем тригонометрическую форму:
Примеры 2.6.1.
- ;
- ;
- , , , , , поэтому
- .
Теорема 2.6.2 (о единственности тригонометрической формы). Если и
где , , тоДоказательство. Из единственности алгебраической формы имеем
Возводя в квадрат и складывая, получаем Так как r1>0, r2>0, то r1=r2. Поэтому , , следовательно, , .Следствие 2.6.3. Если
то )т. е. , ).Упражнение 2.6.4. Если , r>0, то
Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме
Алгебраическая форма записи комплексных чисел удобна для операций сложения и разности. Как мы сейчас убедимся, тригонометрическая форма записи ненулевых комплексных чисел удобна для операции умножения (и как следствие - для деления, возведения в степень, извлечения корней).
Теорема 2.7.1. Если
r1>0, r2>0, , то т. е. |z1z2|=|z1|,|z2|, (аргумент произведения равен сумме аргументов).Доказательство.
r1r2>0. Итак, это тригонометрическая форма для z1z2, поэтомуСледствие 2.7.2. для , , . В частности, |z-1|=|z|-1, .
Доказательство. Если , |z1|=r1, , , |z2|=r2, , то
следовательно, поэтому Если то и поэтомуСледствие 2.7.3. Умножение комплексного числа z на комплексное число , r>0, означает "растяжение" вектора z в r раз и поворот полученного вектора на угол (т. е. умножение модуля |z| на r, а затем прибавление к ).
В частности, умножение комплексного числа на равносильно повороту на )умножение на означает поворот плоскости вокруг начала координат на ).
Упражнение 2.7.4 (экспоненциальная форма Эйлера записи комплексного числа). Рассмотрим последовательность
где . Если существуют то существует (в метрике на C= R2, определяемой |z| для ).Покажите, что
Это дает основание (Эйлер) ввести обозначение ea+bi=eaebi, где Если , то .