Опубликован: 03.06.2019 | Доступ: свободный | Студентов: 486 / 71 | Длительность: 09:11:00
Лекция 11:

Группы Ли

< Лекция 10 || Лекция 11: 12 || Лекция 12 >

или

(3b)\;\; Tv=v,\; Tu=-u,\; Tw=-w

В случае (За) Т - отражение относительно плоскости, натянутой на вектора u, v. В случае (3b) Т - поворот вокруг v на угол 180\circ.

Обобщая эти результаты, формулируем:

Теорема. Ортогональная трансформация R^3 - это либо пространственный поворот вокруг некоторой оси, либо композиция такого поворота с отражением в плоскости, ортогональной оси вращения.

Квантовый алгоритм представляет ортогональную трансформацию в 2^n размерном пространстве n-кубитов. По этой причине мы заинтересованы в понимании структуры ортогональных трансформаций в пространствах произвольной размерности. Их описание дается следующей теоремой, которую мы представляем без доказательства. Доказательство не трудно, но требует привлечения более сложных средств линейной алгебры.

Прежде чем сформулировать теорему в качестве разминки попробуем ответить на следующий вопрос: возможно ли в 4-мерном пространстве иметь две 2-мерные плоскости, пересекающиеся в одной точке? Этот вопрос бросает вызов нашим представлениям о визуализации, так как наша интуиция основана на понимании 3-мерного мира, где плоскости пересекаются по прямой линии. И все же в 4-мерном пространстве плоскости могут пересекаться в одной точке. Для иллюстрации достаточно простого примера. Рассмотрим 4-мерное пространство с осями ХYZW. Тогда плоскость ХY содержит вектора, у которых две последние координаты равны 0, в то время как у векторов в плоскости ZW равны 0 первые две координаты. Очевидно, что пересечением этих двух 2-мерных плоскостей является единственная точка - начало координат.

Теорема. Для любой ортогональной трансформации Т в R^Nможно найти подпространства L_1, L_2, \dots, L_k, такие что:

(1) Каждое подпространство L_i имеет размерность 1 или 2.

(2) Все подпространства L_i взаимно ортогональны и пересекаются только в начале координат.

(3) Каждое подпространство L_i инвариантно относительно трансформации Т. Это значит, что Т преобразует вектора из L_i в вектора в том же подпространстве L_i.

(4) Если L_i 1-мерное подпространство, то Тv = v или Тv = -v для каждого вектора в L_i.

(5) Если L_i 2-мерное подпространство, то Т действует как трансформация поворота плоскости L_i.

Давайте на примере R^4 проиллюстрируем эту теорему Для данной ортогональной трансформации Т используем подпространства \{L_i\}, чтобы сконструировать ортонормальный базис в R^4. В этом случае матрица Т должна быть одного из следующих типов:

(а) Диагональная матрица с элементами \pm 1 по диагонали. Это соответствует случаю, когда R^4 декомпозируется в четыре 1-мерные подпространства:

T=\begin{pmatrix}\pm 1&0&0&0\\0&\pm1&0&0 \\0&0&\pm1&0 \\ 0 &0 &0 & \pm1 1 \end{pmatrix}

(b) Если R^4 декомпозируется в 2-мерное инвариантное подпространство и два 1-мерных инвариантных подпространства, то матрица имеет вид:

T=\begin{pmatrix}\cos \alpha& -\sin \alpha& 0&0\\ \sin \alpha & \cos \alpha&0&0 \\0&0& \pm 1& 0  \\0& 0& 0& \pm 1 \end{pmatrix}

(с) Наконец, R^4 может быть декомпозировано в два 2-мерных инвариантных подпространств. В этом случае Т представляет двойной поворот. (Попытайтесь визуализировать этот случай.)

T=\begin{pmatrix}\cos \alpha& -\sin \alpha& 0& 0\\ \sin \alpha& \cos \alpha& 0& 0 \\0& 0& \cos \beta& -\sin \beta \\0& 0& \sin \beta& \cos \beta \end{pmatrix}

Как мы уже указывали, квантовый алгоритм задается ортогональной трансформацией в 2n-пространстве n-кубитов. При реализации алгоритма он рассматривается как последовательность элементарных трансформаций, каждая из которых затрагивает один или два кубита. Здесь есть полная аналогия с классическими алгоритмами, которые также представляют последовательность шагов, на каждом из которых выполняется элементарная операция. Алгебраически, декомпозиция квантового алгоритма представление большой ортогональной матрицы в виде произведения некоторых элементарных матриц.

Возможность подобной факторизации впервые была показана Эйлером в 1774 году, кто изучал факторизацию ортогональных матриц в 3-мерном пространстве. Эйлером доказана следующая

Теорема. Любой поворот в 3 мерном пространстве с координатными осями ХYZ может быть факторизован в виде композиции поворотов-поворота вокруг оси Х на угол \alpha, поворота вокруг оси Y на угол \beta, еще одного поворота вокруг оси Х на угол \gamma.

Параметры \alpha, \beta, \gamma называются углами Эйлера для заданного поворота. Теорема Эйлера говорит, что достаточно иметь возможность осуществлять повороты вокруг осей Х и Y, чтобы генерировать любой поворот в пространстве

Алгебраически, эта теорема говорит, что матрица любого 3-мерного поворота может быть факторизована следующим образом:

\begin{pmatrix}1&0&0\\0& \cos \gamma& -\sin \gamma \\0& \sin \gamma& \cos \gamma \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos \beta &0 & -\sin \beta \\0&1&0  \\ \sin \beta& 0& \cos \beta \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&0&0 \\0& \cos \alpha & -\sin \alpha \\ 0& \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix}

Для доказательства этой теоремы проще дать геометрическую интерпретацию, не прибегая к алгебраическим инструментам. Зафиксируем поворот Т. Предположим, что Т преобразует ортогональные оси Х_0Y_0Z_0 в координатные оси ХYZ. Заметим, что достаточно проследить за поведением двух осей. Если есть поворот, преобразующий Х_0 в Х, а Y_0 в Y, то автоматически Z_0 будет преобразовано в Z, так как повороты сохраняют углы между осями.

Цель первого шага-повернуть Х_0Y_0Z_0 вокруг оси Х, переходя к осям Х_1Y_1Z_1 так, чтобы ось Х_1 стала перпендикулярной оси Y. Это возможно, поскольку мы можем повернуть любой ненулевой вектор вокруг оси Х так, чтобы в результате вектор стал принадлежать плоскости ХZ.


На втором шаге выполняем поворот вокруг оси Y, трансформируя Х_1T_1Z_1 в Х_2Y_2Z_2 так, чтобы ось Х_2 совпала с осью Х. Это возможно, поскольку ось Х_1 лежит в плоскости XZ после выполнения первого шага.

В завершение выполняем поворот вокруг оси Х так, чтобы новая ось Y_3 совпала с осью Y. Теперь Х_3 совпадает с Х, Y_3 совпадает с Y, а, следовательно, Z_3 совпадает с Z.

< Лекция 10 || Лекция 11: 12 || Лекция 12 >