Опубликован: 10.09.2016 | Доступ: свободный | Студентов: 790 / 110 | Длительность: 15:27:00
Тема: Экономика
Дополнительный материал 2:

Приложение 2: Основные положения теории вероятностей

В теории вероятностей понятие события является первичным и не определяется через другие более простые понятия. Для описания событий как результатов испытаний (опыта или наблюдения) с неопределенным исходом используется понятие случайности. Под испытанием (экспериментом) понимают любое наблюдение какого-либо явления, которое выполнено в заданном комплексе условий с фиксацией результата и может быть повторено в принципе достаточное число раз.

Испытание, исход которого не может быть определен однозначно до проведения эксперимента, принято называть случайным.

Наряду с событием A в рассмотрение вводится противоположное событие A, которое заключается в том, что событие A не происходит.

Событие, которое при случайном испытании происходит всегда, называется достоверным и обозначается \Omega.

Событие, которое никогда не происходит, т.е. является противоположным достоверному, называется невозможным и обозначается \AE.

События A и B называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого. Другими словами, такие события никогда не происходят одновременно.

Предполагается, что на рассматриваемом множестве событий могут быть определены:

  1. сумма событий A и B (обозначается A + B = C) - событие C, состоящее в том, что произойдет хотя бы одно из событий A и B;
  2. произведение событий A и B (обозначается AB = D) - событие D, состоящее в том, что произойдут оба события A и B.

Событие эксперимента (испытания) считается элементарным, если его нельзя представить с помощью определенных выше операций, через другие события.

Совокупность всех таких событий \{\omega _{1}, \omega _{2}, \dots , \omega _{n}\} образует пространство элементарных исходов.При этом выполняются соотношения


Предполагается, что каждому исходу \omega _{i}, возможному в данном случайном испытании, может быть приписана некоторым образом неотрицательная числовая функция P\{\omega _{i}\} = p_{i} >= 0, такая что


.

Значения этой функции, выражающие меру возможности осуществления элементарного события \omega i, называются его вероятностью. При этом имеют место следующие свойства вероятности: 0  <= P\{\omega _{i}\}  <= 1, P\{\AE\} = 0, P\{\Omega \} = 1. В рамках такого подхода любое событие A, связанное с этим экспериментом, определяется как сумма элементарных исходов, а его вероятность как сумма вероятностей соответствующих элементарных исходов:


Для введенных таким образом понятий событий и их вероятностей справедливы следующие два утверждения, носящих названия теорем:

  1. P\{A + B\} = P\{A\} + P\{B\}, если AB = \Omega, - теорема сложения вероятностей для несовместных событий;
  2. P\{A + B\} = P\{A\} + P\{B\} - P\{AB\}, если AB \ne \Omega, - теорема сложения вероятностей для совместных событий.

Условная вероятность и независимость событий

Если некоторое событие A рассматривается не на всем пространстве элементарных исходов, а лишь на некоторой его части, где осуществляется другое событие B, то имеет смысл перейти к рассмотрению условной вероятности события A, которая определяется следующим образом:


Из этого определения непосредственно следует теорема умножения вероятностей:

P\{AB\} = P\{B\}P\{A|B\}.

Полагают, что событие A не зависит от события B, если P\{A|B\} = P\{A\}. Другими словами, события A и B считаются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятности другого события. Для независимых событий теорема умножения вероятностей принимает вид

P\{AB\} = P\{A\}P\{B\}.

Обычно последнее равенство в более общих случаях рассматривают в качестве определения независимости событий A и B.

Независимость случайных событий является очень важным понятием для эконометрических моделей. Достаточно отметить, что многие свойства статистических оценок получаются именно в предположении независимости входящих в них случайных величин. А понятие условной вероятности используется при определении регрессионной модели.

Инесса Воробьева
Инесса Воробьева

В дисциплине "Основы эконометрики" тест 6 дается по теме 7.

Ангелина Кулеш
Ангелина Кулеш
Беларусь
Игорь Зеленцов
Игорь Зеленцов
Россия, Москва