Приложение 2: Основные положения теории вероятностей

В теории вероятностей понятие события является первичным и не определяется через другие более простые понятия. Для описания событий как результатов испытаний (опыта или наблюдения) с неопределенным исходом используется понятие случайности. Под испытанием (экспериментом) понимают любое наблюдение какого-либо явления, которое выполнено в заданном комплексе условий с фиксацией результата и может быть повторено в принципе достаточное число раз.

Испытание, исход которого не может быть определен однозначно до проведения эксперимента, принято называть случайным.

Наряду с событием в рассмотрение вводится противоположное событие , которое заключается в том, что событие не происходит.

Событие, которое при случайном испытании происходит всегда, называется достоверным и обозначается .

Событие, которое никогда не происходит, т.е. является противоположным достоверному, называется невозможным и обозначается .

События и называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого. Другими словами, такие события никогда не происходят одновременно.

Предполагается, что на рассматриваемом множестве событий могут быть определены:

1. сумма событий и (обозначается ) - событие C, состоящее в том, что произойдет хотя бы одно из событий и ;
2. произведение событий и (обозначается ) - событие , состоящее в том, что произойдут оба события и .

Событие эксперимента (испытания) считается элементарным, если его нельзя представить с помощью определенных выше операций, через другие события.

Совокупность всех таких событий образует пространство элементарных исходов.При этом выполняются соотношения

Предполагается, что каждому исходу , возможному в данном случайном испытании, может быть приписана некоторым образом неотрицательная числовая функция , такая что

Значения этой функции, выражающие меру возможности осуществления элементарного события , называются его вероятностью. При этом имеют место следующие свойства вероятности: . В рамках такого подхода любое событие , связанное с этим экспериментом, определяется как сумма элементарных исходов, а его вероятность как сумма вероятностей соответствующих элементарных исходов:

Для введенных таким образом понятий событий и их вероятностей справедливы следующие два утверждения, носящих названия теорем:

1. , если , - теорема сложения вероятностей для несовместных событий;
2. , если , - теорема сложения вероятностей для совместных событий.

Условная вероятность и независимость событий

Если некоторое событие рассматривается не на всем пространстве элементарных исходов, а лишь на некоторой его части, где осуществляется другое событие , то имеет смысл перейти к рассмотрению условной вероятности события , которая определяется следующим образом:

Из этого определения непосредственно следует теорема умножения вероятностей:

Полагают, что событие не зависит от события , если . Другими словами, события и считаются, если появление одного из них не изменяет вероятности другого события. Для независимых событий теорема умножения вероятностей принимает вид

Обычно последнее равенство в более общих случаях рассматривают в качестве определения независимости событий и .

Независимость случайных событий является очень важным понятием для эконометрических моделей. Достаточно отметить, что многие свойства статистических оценок получаются именно в предположении независимости входящих в них случайных величин. А понятие условной вероятности используется при определении регрессионной модели.