Приложение 2: Основные положения теории вероятностей

Наиболее распространенные в эконометрических моделях распределения

Нормальное распределение. Это распределение полностью определяется математическим ожиданием m и средним квадратичным отклонением . Плотность нормального распределения записывается в виде

где .

Кривая плотности нормального распределения имеет форму симметричного колокола (рис. 1); в данном случае и .

Рис. 1.

Логнормальное распределение. Переменная называется логнормально распределенной, если ее логарифм нормально распределен. Такая ситуация возникает, когда рассматривают распределение произведения большого числа случайных, одинаково распределенных независимых величин. Обозначим за m математическое ожидание и за среднее квадратическое отклонение логарифма логнормального распределения. Тогда математическое ожидание и дисперсия самого логнормального распределения вычисляются по формулам

Из определения вытекает, что для плотности логнормального распределения справедливо соотношение

На рисунке 2 отражены кривые плотности и интегральной функции логнормального распределения при .

Рис. 2.

Распределение c 2-квадрат. Пусть - нормальные независимые случайные величины с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Тогда сумма квадратов этих величин

имеет распределение с степенями свободы. Плотность -распределения выражается формулой

где  — гамма-функция, в частности.

На рисунке 3 изображены кривые плотности и интегральной функции распределения при .

Рис. 3.

Распределение Стьюдента. Пусть , а - распределенная по закону независимая от случайная величина с степенями свободы. Тогда случайная величина  распределена по закону Стьюдента (-распределение) с степенями свободы. На рисунке 4 представлены графики кривых плотности и интегральной функции -распределения при .

Рис. 4.

. Если и независимые c 2-распределенные случайные величины со степенями свободы и , то величина

является распределением Фишера со степенями свободы и .

На рисунке 5 представлены кривая плотности и интегральная кривая -распределения при и .

Рис. 5.