Опубликован: 10.09.2016 | Доступ: свободный | Студентов: 790 / 110 | Длительность: 15:27:00
Тема: Экономика
Лекция 10:

Стационарные временные ряды, модели авторегрессии - скользящего среднего

10.1. Основные определения

Теория линейных разностных уравнений может быть обобщена, если предполагать, что возмущающий процесс \{x_{t}\} стохастический. Для оценки так называемых моделей авторегрессии интегрированного скользящего среднего (АРИСС-моделей) вида

y_{t} = a_{0} + a_{1}y_{t-1} +\dots + a_{p}y_{t-p} + \varepsilon _{t} + \beta _{1}\varepsilon _{1} +\dots + \beta _{q}\varepsilon _{t-q} (10.1)

особенно важна методология Бокса - Дженкинса.

Стационарные АРИСС-модели называются моделями авторегрессии - скользящего среднего (АРСС-модели). Оказывается, условия устойчивости, рассмотренные в главе 1, являются необходимыми условиями стационарности модели.

Напомним некоторые основные определения.

Последовательность \{\varepsilon _{t}\} является белым шумом, если каждая случайная величина последовательности имеет нулевое среднее и некоррелирована с другими элементами последовательности. То есть

М(\varepsilon _{t}) = М(\varepsilon _{t-1}) =\dots = 0, (10.2)
М(\varepsilon _{t}^{2}) = М(\varepsilon _{t^{2} - 1}) -\dots - \sigma ^{2}, (10.3)

и для всех j

М(\varepsilon _{t}\varepsilon _{t-s}) = M(\varepsilon _{t-j }, \varepsilon _{t-j -c}) = 0 для всех \varepsilon _{t}. (10.4)

Далее \varepsilon _{t} будет всегда означать белый шум, а \sigma ^{2} - дисперсию процесса. Теперь, используя белый шум, построим более сложные временные ряды:


(10.5)

Последовательность вида (10.5) называется скользящим средним порядка q и обозначается СС(q).

Хотя \{\varepsilon _{t}\} - белый шум, (10.5) белым шумом не является, если более одного коэффициента \beta отличны от нуля.

Предположим, к примеру, что \beta _{0} = 1, \beta _{1} = 1 и все остальные \beta _{j} = 0. Тогда

М(x_{t}) = M(\varepsilon _{t} + \varepsilon _{t-1}) = 0 и D(x_{t}) = D(\varepsilon _{t} + \varepsilon _{t} - 1) = 2\sigma ^{2}.

Однако

M(x_{t}x_{t-1}) = M[(\varepsilon _{t} + \varepsilon _{t-1})(\varepsilon _{t-1} + \varepsilon _{t-2})] = M(\varepsilon _{t}\varepsilon _{t-1}) + (\varepsilon _{t-1})^{2} + \varepsilon _{t}\varepsilon _{t-2} + \varepsilon _{t-1}\varepsilon _{t-2}) = \sigma ^{2}.

Следовательно, не выполнено условие (10.4) и последовательность (10.5) белым шумом не является.

10.2. Тесты проверки стационарности временного ряда

При априорном предположении о нормальном законе распределения значений временного ряда применяются параметрические тесты проверки стационарности. Сначала проверяют гипотезу о постоянстве дисперсии по критерию Фишера. Временной ряд разбивают на два участка длины n_{1} и n_{2}. Расчетное значение критерия определяют по формуле


где S_{1}^{2} и S_{2}^{2} - исправленные выборочные дисперсии на отрезках ряда длины n_{1} и n_{2} соответственно, вычисленные с использованием общего среднего для обоих отрезков.

Если F_{расч} < F_{табл}(a, n_{1} - 1, n_{2} - 1), (\alpha - уровень значимости), то гипотеза о постоянстве дисперсии принимается. Далее проверяется гипотеза о равенстве математического ожидания. Для этого вычисляют наблюдаемое значение критерия Стьюдента по формуле


Если T_{набл} < T_{табл}(a, n_{1} + n_{2} - 2), где a - уровень значимости, а k = n_{1} + n_{2} - 2 - число степеней свободы распределения Стьюдента, то гипотеза о постоянстве математического ожидания временного ряда принимается. В противном случае гипотеза стационарности временного ряда отвергается.

Рассмотренные выше тесты стационарности временного ряда предполагают нормальное распределение значений ряда. В общем случае это условие не выполняется. Более того, исследования показывают, что большинство рядов урожайностей, температур, осадков, финансовых показателей не распределены по нормальному закону. Это приводит к необходимости проверять стационарность временных рядов с помощью непараметрических тестов, не предполагающих нормальность распределения членов временного ряда.

Для проверки постоянства математического ожидания используют тест Манна - Уитни, для проверки постоянства дисперсии - тест Сиджела - Тьюки, основанные на исследовании поведения рангов элементов двух отрезков временного ряда.

Рассмотрим подробнее третий вид тестов проверки стационарности временного ряда - сериальный критерий стационарности.

Серией называют последовательность значений, объединенных некоторым характерным признаком, например положительных или отрицательных. Серией считается также последовательность, состоящая из одного элемента. Рассмотрим вариационный ряд, объединяющий упорядоченные по возрастанию элементы обоих отрезков временного ряда. В критерии Вальда - Вольфовица положительная серия состоит из элементов первой выборки, а отрицательная серия - из элементов второй выборки. Пусть N_{1} и N_{2} - длины обоих отрезков временного ряда. Общее число элементов временного ряда N = N_{1} + N_{2}, а наблюдаемое число серий равно W. Определим среднее значение и дисперсию числа серий W по формулам


Если число элементов временного ряда достаточно велико (более 50), то в случае стационарности временного ряда нормированная величина


распределена по нормальному закону и с вероятностью p должна лежать в промежутке a_{1} < x < a_{2}, а . В противном случае ряд не является стационарным.

Инесса Воробьева
Инесса Воробьева

В дисциплине "Основы эконометрики" тест 6 дается по теме 7.

Ангелина Кулеш
Ангелина Кулеш
Беларусь
Игорь Зеленцов
Игорь Зеленцов
Россия, Москва