Опубликован: 10.09.2016 | Доступ: свободный | Студентов: 790 / 110 | Длительность: 15:27:00
Тема: Экономика
Лекция 7:

Одновременные уравнения. Методы идентификации

7.1. Уравнения со случайными объясняющими переменными

Предположим, что в регрессионной модели (3.1)


x_{i} = (x_{i1}, x_{i2}, \dots , x_{i}N)^{T} - столбец, состоящий из значений i-й случайной переменной в N наблюдениях; u - номер наблюдения (u = 1, 2, \dots , N); \beta _{i} (i = 0, 1, \dots , k) - теоретические значения коэффициентов модели; \varepsilon _{u} - ошибка в u-м наблюдении.

Ранее считалось, что значения объясняющих переменных X_{iu} постоянные, т.е. не изменились бы при проведении новой серии из N экспериментов. Но при этом повторении изменились бы случайные ошибки eu, а следовательно, и результирующая переменная y_{u}.

Необходимость рассмотрения уравнений со случайными объясняющими переменными обусловлена тем, что при исследовании временных рядов многие объясняющие переменные сами представляют временной ряд и предполагать их полную предсказуемость (детерминированность) было бы неверно.

Возможность применения обычного метода наименьших квадратов (МНК) в этом случае зависит от наличия корреляции между объясняющими переменными X_{iu} и случайными ошибками \varepsilon _{u}. Если корреляция отсутствует, то применение МНК дает несмещенные и состоятельные оценки коэффициентов регрессии \beta _{i} (i = 0, 1, \dots , k). Доказательство этого факта является простым обобщением соответствующего доказательства для детерминированного случая. Однако если объясняющие переменные коррелируют с ошибками регрессии в прошлых наблюдениях, то доказательство состоятельности оценок коэффициентов становится неверным. Более того, если объясняющие переменные коррелируют с ошибками регрессии в текущих наблюдениях, то нарушается и свойство несмещенности оценок МНК.

Существует ряд причин возникновения в экономических моделях зависимости между объясняющими переменными X_{iu} и случайными ошибками \varepsilon _{u}. Например, какой-либо фактор может одновременно влиять на поведение случайной ошибки и объясняющей переменной.

Предположим, что строится линейная модель прогноза будущих розничных цен на некоторый сельскохозяйственный продукт после переработки, например, на подсолнечное масло. При этом в качестве единственной объясняющей переменной принимается средняя оптовая закупочная цена на семена подсолнечника. Очевидно, что урожайность подсолнечника является случайной величиной, которая изменяется от года к году и влияет и на оптовую закупочную цену семян подсолнечника и на отклонение фактической розничной цены в данном году от расчетной модельной розничной цены, учитывающей только размер закупочных цен. Данное отклонение отражает такие неучтенные факторы рынка, как повышенный спрос в связи с неурожаем, или незначительное снижение, или даже рост розничных цен на монопольном рынке при хорошем урожае подсолнечника. При среднем урожае закупочные цены будут средними и ошибка модели минимальна, при плохом и хорошем урожае будут как изменяться закупочные цены, так и возрастать ошибки модели.

Довольно часто причиной корреляции между факторами и ошибками уравнения регрессии является неправильное измерение объясняющих переменных. В модель подставляются не истинные, а искаженные наблюдения. Ошибка наблюдения в модели в таком случае состоит из двух слагаемых: ошибок регрессии и ошибок при расчете факторов. Отсюда коррелированность факторов и ошибок модели, величина которой тем больше, чем больше дисперсия ошибок расчета факторов.

Для устранения возникающих трудностей построения уравнения регрессии при наличии коррелированности факторов и ошибок модели используют метод инструментальных переменных.

7.2. Метод инструментальных переменных

Сущность метода состоит в замене объясняющих переменных, для которых нарушаются предположения МНК, на некие новые переменные, для которых эти предположения выполняются. Фактически происходит признание того, что выбраны не совсем удачные переменные, и предпринимается попытка исправить эту ошибку. Новые инструментальные переменные должны коррелировать со старыми переменными, но быть независимыми от ошибок модели.

Рассмотрим упрощенную кейнсианскую модель формирования доходов в закрытой экономике без государственного вмешательства:


(7.1)

где

Yt - совокупный выпуск;
Ct - объем потребления;
It - объем инвестиций.

Коэффициент b называют склонностью к потреблению. Конечно, в более полных моделях этот коэффициент зависит от многих факторов, например от ставки банковского процента или уровня инфляции, но в данной модели будем считать его постоянным.

После подстановки первого уравнения во второе получаем значение выпуска в любой момент времени


(7.2)

Из уравнения (7.2) следует, что при увеличении объема инвестиций It на единицу совокупный выпуск возрастает на единиц. Это и есть знаменитый мультипликатор Кейнса. Однако величина Yt зависит еще и от случайной составляющей \varepsilon t, и при изменении потребления Сt в данном году t на случайную величину \varepsilon t совокупный выпуск Yt изменяется на Таким образом, в первом уравнении модели (7.1) объясняющая переменная Yt автоматически оказывается коррелированной со случайным членом \varepsilon t. При этом нарушается четвертое условие Гаусса - Маркова, и МНК-оценки коэффициентов а, b будут смещенными, а расчет средних квадратических отклонений коэффициентов - некорректным.

Инструментальной переменной в данном случае следует выбрать объем инвестиций It, который не коррелирует со случайными ошибками модели потребления It, но при этом тесно коррелирует с совокупным выпуском Yt. Подставляя в системе (7.1) второе уравнение в первое и проводя упрощения, получаем:


(7.3)

Для уравнения (7.3) корреляция между вторым и третьим слагаемыми отсутствует и МНК становится применим. В результате применения МНК получаем несмещенные и состоятельные оценки коэффициентов После этого получить исходные коэффициенты a и b не составит особого труда.

Инесса Воробьева
Инесса Воробьева

В дисциплине "Основы эконометрики" тест 6 дается по теме 7.

Ангелина Кулеш
Ангелина Кулеш
Беларусь
Игорь Зеленцов
Игорь Зеленцов
Россия, Москва