Опубликован: 10.09.2016 | Доступ: свободный | Студентов: 853 / 131 | Длительность: 15:27:00
Тема: Экономика
Дополнительный материал 1:

Приложение 1: Векторное пространство

< Лекция 12 || Дополнительный материал 1: 123 || Дополнительный материал 2 >
Ключевые слова: приложение

В отличие от традиционных курсов не будем использовать определение векторного пространства как некоторого множества объектов, на котором выполняются некоторые аксиомы. Вместо этого определим сразу n-мерные векторы как столбцы, состоящие из n вещественных чисел, которые записаны в определенном порядке и которые в дальнейшем будем обозначать следующим образом:


Действительные числа x_{i}, i = 1, \dots , n называются координатами (компонентами) вектора x.

Два вектора x и y считаются равными, если равны их соответствующие координаты

x_{i} = y_{i}, i = 1, \dots , n.

Для заданных в такой форме векторов определены две линейные операции:

  1. операция сложения, которая выполняется в следующем виде:

  2. умножение вектора x на действительное число \alpha

При этом предполагается, что справедливы следующие аксиомы, характеризующие свойства векторного пространства:

  1. коммутативность сложения x + y = y + x;
  2. коммутативность произведения \alpha x = x\alpha ;
  3. ассоциативность сложения x + (y + z) = (x + y) + z;
  4. ассоциативность произведения \alpha (bx) = (\alpha b)x;
  5. дистрибутивность умножения относительно сложения
    \alpha (x + y) = \alpha x + \alpha y;
  6. дистрибутивность (\alpha + b)x = \alpha x + bx;
  7. наличие такого нулевого вектора, что x + 0 = x для любого x;
  8. 0x = 0 для любого x;
  9. 1x = x для любого x.

Множество всех n-мерных векторов с определенными на нем операциями сложения и умножения на действительное число называется n-мерным векторным пространством и обозначается R^{n}.

Линейной комбинацией векторов x^{1}, x^{2}, x^{3}, \dots , x^{k} в пространстве R^{n} называется выражение вида


Система векторов x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots , x_{k} называется линейно независимой, если равенство

a_{1}x_{1} + a_{2}x_{2} + a_{3}x_{3} + \dots + a_{k}x_{k} = 0 (1)

выполняется только в том случае, когда все \alpha _{i}, i = 1, \dots , n равны нулю. Если же существует набор коэффициентов \alpha _{i}, в котором хотя бы одно значение коэффициента отлично от нуля, при котором выполняется равенство (1), то такая система называется линейно зависимой. В случае линейной зависимости системы любой из ее векторов может быть представлен в виде линейной комбинации остальных.

Совокупность линейно независимых векторов e_{1}, e_{2}, \dots , e_{n} называется базисом пространства R^{n}, если любой вектор этого пространства x может быть представлен в виде линейной комбинации этих векторов

x = x_{1}e_{1} + x_{2}e_{2} + \dots + x_{n}e_{n}. (2)

При этом равенство (2) называется разложением вектора x по базису e_{1}, e_{2}, \dots , e_{n}, а числа x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots , x_{n} координатами вектора в указанном базисе.

Наиболее важными являются следующие утверждения:

  1. любой базис n-мерного векторного пространства содержит ровно n векторов. Число векторов, образующих базис, называется размерностью векторного пространства и обозначается dim(R^{n}) = n;
  2. любой вектор n-мерного векторного пространства раскладывается по заданному базису единственным образом.

Следствием первого утверждения является тот факт, что в R^{n} любая система, состоящая из s(s > n) векторов, является линейно зависимой.

Некоторое подмножество L линейного пространства R^{n} называется линейным подпространством (или просто подпространством), если:

  1. из x \in L, y \in L следует, что (x + y) \in L для любых x и y;
  2. из x \in L следует, что \alpha x \in L при любом вещественном \alpha.

Очевидно, что dim(L) <= dim(Rn).

Совокупность всех линейных комбинаций векторов x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots , x_{k} называется линейной оболочкойэтих векторов.

В эконометрических моделях понятия вектора и векторного пространства являются необходимыми при рассмотрении организации исходных данных. Понятие линейной зависимости (линейной комбинации) составляет основу линейных регрессионных моделей. Ортогональность базисных переменных в значительной степени связана с интерпретацией их независимости в случае нормального распределения.

< Лекция 12 || Дополнительный материал 1: 123 || Дополнительный материал 2 >
Инесса Воробьева
Инесса Воробьева

В дисциплине "Основы эконометрики" тест 6 дается по теме 7.