В дисциплине "Основы эконометрики" тест 6 дается по теме 7. |
Приложение 1: Векторное пространство
Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением векторов и называется число (скаляр), обозначаемое как () (или просто ) и определяемое соотношением
Основными свойствами этой операции являются:
- симметрия ;
- дистрибутивность ;
- для любого вещественного ;
- , причем тогда и только тогда, когда .
Величина называется модулем(длиной)вектора x.
Для любых двух векторов и справедливо неравенство Коши-Буняковского .
Векторы и называются коллинеарными, если . Практически это означает, что координаты этих векторов пропорциональны.
Векторы и называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю: .
Вещественное линейное пространство называется евклидовым пространством, если в нем определено скалярное произведение элементов. В евклидовом пространстве удобно использовать базис , все элементы которого взаимно ортогональны и имеют единичную длину, т.е.
где - символ Кронекера.
Такие базисы называются ортонормированными и существуют в любом евклидовом пространстве. В ортонормированном базисе координаты вектора можно представить в виде , а разложение вектора по базису как
Введение в рассмотрение скалярного произведения позволяет в дальнейшем использовать такие геометрически содержательные понятия, как ортогональность, угол и длина. Эти свойства широко используются при объяснении (обосновании и изложении) метода наименьших квадратов (МНК), в частности, при получении системы нормальных уравнений, а также для объяснения свойств МНК-оценок.