Приложение 1: Векторное пространство

Матрицы, операции над матрицами

Прямоугольная таблица чисел, содержащая строк и столбцов, называется матрицей (точнее, числовой матрицей). Пару чисел m и n называют размером (порядком) матрицы. Обозначаются матрицы следующим образом: или

Числа , составляющие матрицу, называются ее элементами.

В случае когда , матрица называется, а число - порядком матрицы.

Матрицу размера называют матрицей-строкой, а матрицу размера - матрицей-столбцом. Очевидно, что матрица размера может рассматриваться как элемент векторного пространства .

Главной диагональю квадратной матрицы размера называется совокупность элементов .

Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, не лежащие на главной диагонали, равны нулю. Диагональная матрица, все диагональные элементы которой равны единице, называется единичной и обозначается .

Две матрицы и называются равными, если они одинакового размера и соответствующие элементы равны.

Определим основные операции над матрицами.

Суммой матриц и одинакового размера называется матрица того же размера, определяемая равенством

То есть при сложении матриц их соответствующие элементы складываются.

Произведением матрицы на число называется матрица того же размера, определяемая равенством

То есть при умножении матрицы на число все элементы этой матрицы умножаются на это число.

Операции сложения и умножения матриц на число обладают следующими свойствами:

1. коммутативностью ;
2. сочетательностью при сложении ;
3. дистрибутивностью умножения на число относительно суммы матриц ;
4. дистрибутивностью умножения относительно суммы чисел ;
5. сочетательностью при умножении .

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей и обозначается 0. С помощью нулевой матрицы можно сформулировать свойства

Транспонированием матрицы называется операция, в результате которой меняются местами строки и столбцы матрицы с сохранением порядка их следования. Полученная в результате этой операции матрица называется транспонированной и обозначается или

Для операции транспонирования справедливы следующие очевидные свойства:

Произведением матриц размера и размера называется матрица размера (обозначается ), элементы которой определяются по формуле

В том случае, когда произведения матриц определены, будут справедливы следующие свойства:

1. сочетательное ;
2. дистрибутивное относительно суммы или ;
3. 

Следует особо отметить, что в общем случае существование произведения не влечет за собой существование произведения

И даже в том случае, когда оба этих произведения и существуют, они могут не равняться друг другу. Матрицы, для которых выполняется равенство , называются коммутативными.

Скалярное произведение двух векторов и удобно выразить в форме произведения матриц . Вместе с тем элементы произведения матриц можно рассматривать как скалярные произведения строк первой матрицы на столбцы второй.

Рассмотрение столбцов матрицы размера в качестве -мерных векторов позволяет установить их линейную зависимость. Максимальное число линейно независимых векторов-столбцов матрицы называется рангом по столбцам. Аналогичным образом можно сформулировать понятие ранга по строкам. Для этого достаточно перейти к рассмотрению транспонированной матрицы . Доказывается, что ранг по столбцам матрицы равен рангу по строкам. Эта величина называется рангом матрицы и обозначается . Из определения следует, что . Для нулевой матрицы полагают .

Каждой квадратной матрице по определенному правилу можно поставить в соответствие число (обозначается или ), называемое определителем (детерминантом) матрицы. Для вычисления определителя матрицы можно использовать формулы

где – квадратная матрица порядка , которая получается из матрицы вычеркиванием -й строки и -го столбца.

Определитель называется минором элемента . Приведенные формулы называются разложением определителя матрицы по -му столбцу и -й строке соответственно.

• Свойства определителей, используемые при построении и исследовании эконометрических моделей, связаны с некоторыми действиями, которые не меняют его величины, а также позволяют установить равенство нулю определителя. Укажем основные из них:
• 
• 
• 
• величина определителя не изменится, если к элементам одной строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца), умноженные на одно и то же число;
• при перестановке любых двух строк (столбцов) величина определителя умножается на –1;
• величина определителя, содержащего две пропорциональные строки (столбца), равна нулю;
• сумма произведений элементов любой строки (столбца) на алгебраические дополнения другой строки (столбца) равна нулю, т.е.

Матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от нуля. Всякая невырожденная матрица имеет единственную обратную матрицу , которая по определению удовлетворяет следующим равенствам:

где - единичная матрица.

Для обратных матриц основными являются следующие свойства:

Они выполняются, если только существуют все входящие в соответствующие равенства матрицы.

Собственным вектором квадратной матрицы порядка называется ненулевой вектор , удовлетворяющий равенству

где - некоторое вещественное число.

При этом число называется собственным значением матрицы , соответствующим собственному вектору .

Очевидно, что собственный вектор x определен с точностью до коэффициента пропорциональности, и поэтому обычно нормируется условием . Для нахождения собственных значений переходят к матричному уравнению , которое представляет собой однородную систему уравнений. Для существования ненулевого решения такой системы необходимо и достаточно, чтобы определитель системы равнялся нулю, т.е. .

Уравнение называется характеристическим уравнением матрицы . Корни этого уравнения будут собственными значениями матрицы . При этом учитывается кратность корней характеристического уравнения.

Если все корни характеристического уравнения простые, т.е. имеют кратность, равную 1, то соответствующие им собственные векторы линейно независимы.

Элементы линейной алгебры: основные понятия и факты

Краткий обзор основных элементов линейной алгебры и аппарата матричного исчисления, используемых в эконометрических моделях, следует рассматривать как вспомогательный справочный материал, владение которым необходимо для успешного освоения дисциплины. Данное Приложение ни в коей мере не может подменить полноценные учебники по этим вопросам.