Опубликован: 10.09.2016 | Доступ: свободный | Студентов: 946 / 165 | Длительность: 15:27:00
Тема: Экономика
Дополнительный материал 2:

Приложение 2: Основные положения теории вероятностей

Случайные величины и законы их распределения

Случайная величина определяется как однозначная действительная функция, заданная на пространстве элементарных событий. Множество значений случайной величины определяется структурой соответствующего пространства элементарных событий. Каждая случайная величина задает распределение вероятностей на множестве своих значений.

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими вероятностями. Случайная величина X считается заданной, если известен ее закон распределения. Наиболее общей формой закона распределения является функция распределения вероятностей случайной величины F(x), определяемая равенством F(x) = P\{x < X\}.

Основные свойства функции распределения:

  • 0 <= F(x) <= 1;
  • F(x) - неубывающая функция своего аргумента;
  • F(–\infty) = 0; F(\infty ) = 1;
  • P\{a <= X < b\} = F(b) - F(a).

В зависимости от структуры множества значений в практических задачах обычно различают два вида случайных величин: дискретные и непрерывные.

Дискретной называется случайная величина, множество значений которой конечное или счетное. В качестве закона распределения дискретной случайной величины X удобно использовать ряд распределения, представляющий собой таблицу вида


где P\{X = x_{i}\} = p_{i}, i = 1, \dots , n, при этом


Функция распределения дискретной случайной величины будет иметь разрывы первого рода (скачки) в точках, соответствующих значениям случайной величины.

Непрерывной называется случайная величина, имеющая непрерывную и дифференцируемую функцию распределения F(x). В качестве закона распределения непрерывной случайной величины обычно используется функция плотности распределения вероятностей, определяемая равенством


Основные свойства функции плотности распределения:

  • f(x) >= 0;

Функции распределения F(x) и плотность связаны соотношением


Многомерные случайные величины

Понятие случайной величины может быть обобщено на случай системы случайных величин: X = (X_{1}, X_{2}, \dots , X_{n})^{T}, где X - n-мерный случайный вектор, X_{i}, i = 1, \dots , n — случайные величины, определенные на одном пространстве элементарных событий. Функция распределения n-мерной случайной величины X задается равенством

F(x_{1}, x_{2}, \dots , x_{n}) = P(X_{1} < x_{1}, X_{2} < x_{2}, \dots , X_{n} < x_{n}).

Случайный вектор X называется непрерывным, если F(x_{1}, x_{2}, \dots , x_{n}) имеет смешанную частную производную n-го порядка


которая называется плотностью распределения случайного вектора X или совместной плотностью распределения случайных величин X_{1}, X_{2}, \dots , X_{n}. Свойства совместной плотности вероятности аналогичны свойствам плотности вероятности одномерной случайной величины.

Если рассмотрению подлежит только часть компонент вектора (X_{1}, X_{2}, \dots , X_{k})^{T}, где k < n, то используется частная (маргинальная) функция распределения

Fk(x_{1}, x_{2}, \dots , x_{k}) = P(X_{1} < x_{1}, \dots , X_{k} < x_{k}) =\\
			= P(X_{1} < x_{1}, \dots , X_{k} < x_{k}, X_{k} + 1 < \infty , \dots , Xn <\infty ) = F(x_{1}, x_{2}, \dots , x_{k}, \infty , \infty )

и, соответственно, частная (маргинальная) плотность распределения


где интегрирование производится по всему множеству возможных значений переменных x_{k+1}, x_{k+2}, \dots , x_{n}.

Плотность распределения многомерной случайной величины X, определенная при условии, что значения компонент x_{k+1}, x_{k+2}, \dots , x_{n} зафиксированы на уровнях соответственно


определяется формулой


и называется плотностью условного распределения случайной величины X.

Случайные величины X_{1}, X_{2}, \dots , X_{n} называются (стохастически) независимыми, если функция совместного распределения этих величин F(x_{1}, x_{2}, \dots , x_{n}) представима в виде произведения функций распределения случайных величин

F(x_{1}, x_{2}, \dots , x_{n}) = F(x_{1})F(x_{2})\dots F(x_{n}),

или, в случае непрерывных случайных величин, аналогичным образом может быть представлена совместная плотность

f(x_{1}, x_{2}, \dots , x_{n}) = f(x_{1})f(x_{2})\dots f(x_{n}).
Инесса Воробьева
Инесса Воробьева

В дисциплине "Основы эконометрики" тест 6 дается по теме 7.