Решения задач
Из раздела 7
7.1 Из доказательства теоремы 7.1 следует, что достаточно научиться реализовывать все операторы вида ,
(управляемый двумя q-битами фазовый сдвиг на
является частным случаем:
). Для алгоритма построения схемы требуется также конструктивное доказательство леммы 7.1.
Сперва реализуем управляемый фазовый сдвиг:
![\Lambda(P(\phi))[1,2]=E(\phi)[1], \quad \text{где } P(\phi)=\begin{pmatrix} e^{i\phi}&0\\ 0&e^{i\phi} \end{pmatrix},\quad E(\phi)=\begin{pmatrix} 1&0\\ 0&e^{i\phi} \end{pmatrix}.](/sites/default/files/tex_cache/6c799d1bf24455d9ddd7b5ae3c64b06c.png)
![\Lambda(XY)=\Lambda(X)\Lambda(Y)](/sites/default/files/tex_cache/817e6a112264496bb5652d2f8f4f8e54.png)
![Y](/sites/default/files/tex_cache/57cec4137b614c87cb4e24a3d003a3e0.png)
![U(2)/U(1)](/sites/default/files/tex_cache/bf8c7c82c64c35829c49164570c960c9.png)
![U(1)](/sites/default/files/tex_cache/bc687bc49a850d62c9dd055dbe05e6a9.png)
![Y\in\SU(2)](/sites/default/files/tex_cache/9210187b39470f7e0e0285e4f6162dfa.png)
![A](/sites/default/files/tex_cache/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png)
![B](/sites/default/files/tex_cache/9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png)
![]() |
( *) |
![(*)](/sites/default/files/tex_cache/859f164597f4d6b962c31c0a6de81c4a.png)
![180^\circ](/sites/default/files/tex_cache/043007c6e9c962c3726d72e9b02baa57.png)
Осталось доказать лемму 7.1 конструктивно. Для начала заметим, что для любых чисел существует унитарная матрица
размера
(эффективно вычислимая с любой заданной точностью
), такая что
![V \left(\begin{array}{@{}c@{}} c_1\\c_2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{@{}c@{}} \sqrt{|c_1|^2+|c_2|^2}\\0 \end{array}\right).](/sites/default/files/tex_cache/657395575e1e2b328cbc1beaeb186795.png)
![\ket\xi\in\CC^M](/sites/default/files/tex_cache/cfa370e7cf2d90bc9871a6dfe7730269.png)
![V^{(1)},\dots,V^{(M-1)}](/sites/default/files/tex_cache/f67d199b6ad2259a7c587560ff85ca6c.png)
![V^{(1)}\cdot\ldots\cdot V^{(M-1)}\ket{\xi}=\ket{1}](/sites/default/files/tex_cache/bdbdf8bf8181f38bc1691e6e4c728449.png)
![V^{(s)}](/sites/default/files/tex_cache/2b488a00913ec1f3a1beb5cdb18fd0f1.png)
![\CC\bigl(\ket{s},\,\ket{s+1}\bigr)](/sites/default/files/tex_cache/b153ec2242f3d5cf79212593ba9c6ed3.png)
Пусть теперь задана унитарная матрица размера
. Умножая
слева на подходящие матрицы
, можно перевести первый столбец в вектор
. При этом столбцы остаются ортогональными, поэтому первая строка переходит в
. Действуя таким же образом с остальными столбцами, получаем набор матриц
\, (
) (где
действует на
и
), удовлетворяющий условию
![U^{(M-1,M-1)}U^{(M-2,M-2)}U^{(M-2,M-1)}\cdot\ldots\cdot U^{(1,1)}\cdot\ldots\cdot U^{(1,M-1)}\, U^{-1} = I.](/sites/default/files/tex_cache/090e530ce983086d637aa39b9e4804cd.png)
![O(M^3)\cdot\poly(\log(1/\delta))](/sites/default/files/tex_cache/ef3ccfb23cbe99982fc1deadd67d67b7.png)
7.2 Неравенство (7.6) следует из цепочки неравенств, справедливых для любого :
![\big\| XY\ket\xi\big\|\leq \| X\|\cdot \big\|Y\ket\xi\big\|\leq \| X\|\cdot \|Y \|\cdot\big\|\ket\xi\big\|.](/sites/default/files/tex_cache/690a3d63e6cf81771259f0eea6f3e0d2.png)
Для доказательства равенства (7.7) заметим, что собственные числа операторов и
совпадают.