Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Опубликован: 15.03.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 613 / 27 | Оценка: 5.00 / 4.50 | Длительность: 19:30:00
Специальности: Программист
Теги:
Дополнительный материал 1:
Решения задач
Из раздела 9
9.1. Пусть . Проверим условия 1)—3) для
.
Условие 1): очевидно.
Условие 2): .
Условие 3): .
И наоборот, если удовлетворяет 1)—3), то
, где
— собственные числа, а
— ортонормированный базис из собственных векторов.
9.2 Вектору можно естественным образом сопоставить оператор
. Пусть
— ненулевые собственные числа оператора
![\rho=\Psi\Psi^\dagger=\Tr_\calF(\ket\psi\bra\psi)\in\LL(\calN)](/sites/default/files/tex_cache/fbf7d88c71e83761783b8b1d3a6e32d0.png)
![\rho](/sites/default/files/tex_cache/d2606be4e0cd2c9a6179c8f2e3547a85.png)
![0<p_j\le 1](/sites/default/files/tex_cache/ce7860551048b8cb32beaf5946e23b11.png)
![\lambda_j=\sqrt{p_j}](/sites/default/files/tex_cache/20d56d401a65b3c203f861a1fab97e88.png)
![\{\ket{\xi_j}\}](/sites/default/files/tex_cache/8eb4f157bc159461fe4c801a9036d816.png)
![p_j](/sites/default/files/tex_cache/8b6f59f2af8f45b773cb64ac76c9b095.png)
Оператор можно представить в виде
![\Psi=\sum_{j}\lambda_j\ket{\xi_j}\bra{\nu_j},](/sites/default/files/tex_cache/b39ed8c3db9fd891fedc62c4754a0b9b.png)
![\ket{\nu_j}=\lambda_j^{-1}\Psi^\dagger\ket{\xi_j}\in\calF^*](/sites/default/files/tex_cache/0efe2d302bc15b604f8003687838e00d.png)
![\bra{\nu_j}\in\calF^{**}=\calF](/sites/default/files/tex_cache/b70e8a407ca1dd09c1de4571b81ab1bf.png)
![\bra{\nu_j}](/sites/default/files/tex_cache/160ef78cd682290ca47ed6f9fa646b16.png)
![\ket{\eta_j}](/sites/default/files/tex_cache/595d4f0f619a7df818992fcfa1b3128f.png)
9.3 Условие , как следует из решения предыдущей задачи, позволяет выбрать разложения Шмидта для
и
с одинаковыми
и
. Запишем эти разложения
![\ket{\psi_k}=\sum_{j}^{}\lambda_j\ket{\xi_j} \otimes\ket{\eta_j^{(k)}},\qquad k=1,\,2.](/sites/default/files/tex_cache/70dd86641b65b53523dc3b9a2018d89c.png)
![\{\ket{\eta_j^{(k)}}\}](/sites/default/files/tex_cache/24ba2a0f9e01704579fd99e9825071d9.png)
![U](/sites/default/files/tex_cache/4c614360da93c0a041b22e537de151eb.png)
![U\ket{\eta_{j}^{(1)}}=\ket{\eta_j^{(2)}}](/sites/default/files/tex_cache/bc5f3e5f790200b7211e374b691a089b.png)
![j](/sites/default/files/tex_cache/363b122c528f54df4a0446b6bab05515.png)
![(I_\calN\otimes U)\ket{\psi_1}= \sum_{j}^{}\lambda_j \ket{\xi_j}\otimes U\ket{\eta_j^{(1)}}= \sum_{j}^{}\lambda_j \ket{\xi_j}\otimes \ket{\eta_j^{(2)}}= \ket{\psi_2}.](/sites/default/files/tex_cache/b6c3ff97d025b19f2c1827a9cc617889.png)