Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского
Опубликован: 26.04.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 1397 / 115 | Оценка: 3.69 / 3.54 | Длительность: 14:45:00
ISBN: 978-5-9556-0072-7
Специальности: Математик
Лекция 19:

Проверка простой гипотезы относительно простой альтернативы

< Лекция 18 || Лекция 19: 1234 || Лекция 20 >

Лемма 4.1 (о вогнутости инфимума семейства вогнутых функций). Пусть функции \varphi_t(x), t\in T, определенные на выпуклом множестве X, вогнуты по x а этом множестве. Тогда нижняя огибающая этого семейства

\varphi(x) = \inf_{t \in T} \varphi_t(x),\quad x \in X, ( 18.23)
также вогнута на множестве X, если она является конечной3Заметим, что рис. 4.1 демонстрирует семейство из трех вогнутых (линейных) функций, определенных на выпуклом (отрезок [0,1] ) множестве и имеющих вогнутую нижнюю огибающую..

Доказательство. Пусть x1 и x2 есть две произвольные точки из множества X и точка

x = \gamma x_1 + (1 - \gamma) x_2,\quad 0 \le \gamma \le 1, ( 18.23)
есть их выпуклая комбинация, принадлежащая множеству X в силу его выпуклости. Согласно условиям леммы и определению (18.23), для любого t\in T справедливо, что
\begin{gathered}
\varphi_t(x) = \varphi_t(\gamma x_1 + (1 - \gamma)x_2) \ge
\gamma\varphi_t(x_1) + (1 - \gamma)\varphi_t(x_2) \ge \\ \ge
\gamma\varphi(x_1) +
(1 -\gamma)\varphi(x_2).
\end{gathered} ( 18.24)
Поскольку неравенства (18.24) верны при любом значении t \in T, то они должны быть справедливы и для функции \varphi(x). Следовательно,
\varphi(x) = \varphi(\gamma x_1 + (1 - \gamma)x_2)\ge \gamma\varphi(x_1) +
(1 - \gamma) \varphi(x_2),
где x1, x_2\in X и г 0\le \gamma \le 1.

Следствие 4.1. Функция байесовского риска \rho(\zeta) вогнута по \zeta на интервале [0,1].

Доказательство В соответствии с определением (17.18), (17.19) и учитывая (18.21) и возможность задания любого байесовского критерия критической областью (18.17) из конечного набора (18.14), получаем, что

\eq{
\rho(\zeta) \!=\! \min\{\rho(\xi,d)\colon d \in D\} \!=\!
\min\{\zeta(\beta_i \!-\! w \al_i) \!+\! w \al_i\colon 0 \!\le\! i \!\le\! N\}.
\label{eq18_25}
} ( 18.25)

Поскольку линейные функции из правой части (18.25) являются вогнутыми, то в соответствии с утверждением леммы их нижняя огибающая также должна быть вогнутой.

Пример 4.3. Второй и третий столбцы табл. 4.4 представляют значения функций правдоподобия для некоторой схемы испытаний с четырьмя возможными исходами. При этом исходы занумерованы в соответствии с правилами (18.10)-(18.12) (см. четвертый столбец таблицы). Для заданного значения w=1,5 таблица содержит также граничные точки подынтервалов из (18.15), (18.16), вероятности ошибок первого и второго рода из (18.19), (18.20) и выражения для функций

\rho_i(\zeta) = \zeta(\beta_i - w \alpha_i) + w \alpha_i,\,\zeta \in [0,1], ( 18.26)
совпадающих с байесовским риском в соответствующих подынтервалах [\zeta_i, \zeta_{i+1}), 0 \le i \le 4.

Таблица 4.4.
i p1(zi) p2(zi) ci \zeta_i \alpha_i \beta_i \rho_i(z)
0 - - 0 0 0 1 \zeta
1 0,675 0,05 0,074 0,1 0,05 0,325 0{,}25\zeta + 0{,}075
2 0,059 0,016 0,285 0,3 0,066 0,266 0{,}166\zeta + 0{,}1
3 1,133 0,134 1 0,6 0,2 0,133 -0{,}166\zeta + 0{,}3
4 0,133 0,8 6 0,9 1 0 -1{,}5\zeta + 1{,}5

Представленная на рис. 4.4 функция \rho(\zeta) из (18.21), соответствующая данным из табл. 4.4, иллюстрирует рассмотренные выше свойства байесовского риска.


Рис. 4.4.

Определение 4.2 (наименее выгодного распределения). Априорное распределение \xi^\circ из (18.2), при котором функция байесовского риска достигает максимального значения

\rho^\circ = \rho(\zeta^\circ) = \max\{\rho(\zeta)\colon 0 \le \zeta \le 1\} ( 18.27)
где \zeta = \xi(1), называется наименее выгодным распределением вероятностей для состояний природы. Заметим, что точка \zeta^\circ является внутренней точкой интервала (0,1) и совпадает с одной из точек \zeta_i, 1 \le i \le N, поскольку функция \rho(\zeta) является вогнутой и имеет, согласно (18.22), нулевые значения на концах интервала [0,1] ; см. рис. 4.4.

< Лекция 18 || Лекция 19: 1234 || Лекция 20 >
Михаил Агапитов
Михаил Агапитов

Не могу найти  требования по оформлению выпускной контрольной работы по курсу профессиональной переподготовки "Менеджмент предприятия"

Подобед Александр
Подобед Александр

Я нажал кнопку "начать курс" и почти его уже закончил, но для получения диплома на бумаге, нужно его же оплатить? Как оплатить?