Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского
Опубликован: 26.04.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 1362 / 91 | Оценка: 3.69 / 3.54 | Длительность: 14:45:00
ISBN: 978-5-9556-0072-7
Специальности: Математик
Лекция 16:

Дележ, отвечающий аксиомам Нэша

< Лекция 15 || Лекция 16: 1234 || Лекция 17 >
Аннотация: Единственность дележа, удовлетворяющего аксиомам Нэша. Сделки с побочными платежами.

Теорема 3.1. Существует единственная функция \varphi из (14.18), определенная для всех задач о сделках, задаваемых тройками (S,u*,v*) и удовлетворяющих аксиомам (14.15)-(14.17), (14.19), (14.21), (14.22). При этом предполагается, что хотя бы для одной пары (u,v) из замкнутого, ограниченного и выпуклого множества S, входящего в определение задачи, справедливо (может быть нестрогое) доминирование

(u,v) \ge (u^\ast, v^\ast). ( 15.1)

Доказательство теоремы опирается на следующие леммы.

Лемма 3.1. Если множество S содержит точку (u,v), такую, что

u > u^\ast,\quad v > v^\ast, ( 15.2)
т.е. если доминирование (15.1) является строгим, то функция
g(u,v) = (u - u^\ast)(v - v^\ast) ( 15.3)
достигает максимума на множестве
S_0 = \{(u,v) \in S\colon u \ge u^\ast\} ( 15.4)
в единственной точке (u^\circ, v^\circ).

Доказательство Поскольку функция (15.3) является непрерывной, а непустое множество (15.4) - ограниченным и замкнутым, то существует максимум

g(u^\circ, v^\circ) = \max \{g(u,v)\colon (u,v) \in S_0\} > 0. ( 15.5)
Правое неравенство в (15.5) является следствием условий (15.2) и определений (15.3), (15.4).

Допустим, что существует еще одна точка (u',v'), максимизирующая функцию g на S0. Тогда

(u' - u^\ast)(v' - v^\ast) = (u^\circ - u^\ast)(v^\circ - v^\ast), ( 15.6)
откуда, учитывая (15.2), получаем отношение:
\frac{u^\circ - u^\ast}{u' - u^\ast} = \frac{v' - v^\ast}{v^\circ - v^\ast}.

Поскольку точки (u^\circ, v^\circ) и (u', v') являются (по предположению) различными, то из (15.6) вытекают следствия:

\begin{gathered}
u' < u^\circ \to v' > v^\circ,\\
u' > u^\circ \to v' < v^\circ.
\end{gathered} ( 15.7)

Из выпуклости множества S0 следует справедливость включения

(\tilde{u}, \tilde{v}) = (\frac{1}{2}(u' + u^\circ), \frac{1}{2}(v' + v^\circ))\in S_0.
Покажем, что для точки (\tilde{u}, \tilde{v}) имеет место неравенство
g(\tilde{u}, \tilde{v}) > g(u^\circ, v^\circ), ( 15.8)
противоречащее определению точки (u^\circ, v^\circ) из (15.5), что доказывает единственность точки максимума функции g. Действительно,
\begin{gathered}
g(\tilde{u}, \tilde{v}) = \frac{1}{4}\left[(u' - u^\ast) +
(u^\circ - u^\ast)\right]\left[(v' - v^\ast) + (v^\circ -
v^\ast)\right]=\\ = \frac{1}{2}(u' - u^\ast)(v' - v^\ast) +
\frac{1}{2}(u^\circ -
u^\ast)(v^\circ - v^\ast) + \frac{1}{4}(u^\circ - u')(v' - v^\circ),
\end{gathered}
откуда, согласно (15.6) и (15.7), следует справедливость утверждения (15.8), противоречащего (15.5).

В дальнейшем мы покажем, что условия (15.5) определяют функцию \varphi из (14.18), и опишем графический прием для определения аргумента (u^\circ, v^\circ) из левой части (15.5).

Лемма 3.2. Пусть выполняются условия (15.2) и точка (u^\circ, v^\circ) удовлетворяет определению (15.5). Тогда множество S лежит под прямой линией, определяемой уравнением

h(u,v) = h(u^\circ,v^\circ), ( 15.9)
h(u,v) = (v^\circ - v^\ast)u + (u^\circ - u^\ast)v, ( 15.10)
и касающейся множества S в точке (u^\circ, v^\circ), т.е.
(\forall (u,v) \in S)\ h(u,v) \le h(u^\circ, v^\circ).

Доказательство. Допустим, что прямая (15.9) не является опорной для множества S в точке (u^\circ, v^\circ). Тогда существует такая точка (u', v')\in S, что

h(u', v') > h(u^\circ, v^\circ). ( 15.11)
Построим выпуклую линейную комбинацию:
(\tilde{u},\tilde{v}) = \varepsilon(u', v') + (1 -
\varepsilon)(u^\circ, v^\circ),\quad 0 \le \varepsilon \le 1,
которая принадлежит множеству S в силу его выпуклости. Поскольку (\tilde{u}, \tilde{v}) \to ({u}^\circ, v^\circ) при \varepsilon \to 0 и, согласно правому неравенству в (15.5), u^\circ > u^\ast, то при достаточно малых значениях \varepsilon > 0 справедливо включение (\tilde{u}, \tilde{v}) \in S_0.

Теперь покажем, что при достаточно малых значениях \varepsilon > 0 имеет место неравенство g(\tilde{u}, \tilde{v}) > g(u^\circ, v^\circ), противоречащее определению (15.5). Действительно,

\begin{multiline*}
g(\tilde{u}, \tilde{v}) = [u^\circ + \varepsilon(u' - u^\circ) - u^\ast]
[v^\circ + \varepsilon(v' - v^\circ) - v^\ast]) =\\
= (u^\circ - u^\ast)(v^\circ - v^\ast) +
\varepsilon^2(u' - u^\circ)(v' - v^\circ) + \\
+\varepsilon[(v^\circ - v^\ast)
(u' - u^\circ) + (u^\circ - u^\ast)(v' - v^\circ)],
\end{multiline*}
где, согласно (15.11), коэффициент при \varepsilon является положительным, а член, содержащий \varepsilon^2, - пренебрежимо малым при \varepsilon \to 0. Следовательно, прямая линия (15.9) является опорной к множеству S в точке (u^\circ, v^\circ).

< Лекция 15 || Лекция 16: 1234 || Лекция 17 >
Михаил Агапитов
Михаил Агапитов

Не могу найти  требования по оформлению выпускной контрольной работы по курсу профессиональной переподготовки "Менеджмент предприятия"

Подобед Александр
Подобед Александр

Я нажал кнопку "начать курс" и почти его уже закончил, но для получения диплома на бумаге, нужно его же оплатить? Как оплатить?