НОУ ИНТУИТ | Исследование операций и модели экономического поведения. Лекция 16: Дележ, отвечающий аксиомам Нэша

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского

Опубликован: 26.04.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 1411 / 126 | Оценка: 3.69 / 3.54 | Длительность: 14:45:00

ISBN: 978-5-9556-0072-7

Тема: Математика

Специальности: Математик

|

Вам нравится? Нравится 24 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Сделки с побочными платежами

Согласно сделанному выше предположению (см. замечание в "Сделки без побочных платежей" , функции выигрышей сторон можно интерпретировать как линейно трансферабельные полезности. Однако в предшествующем рассмотрении (при определении допустимого множества S из (14.6)) было введено ограничение, запрещавшее обмен полезностями между сторонами. Теперь мы рассмотрим случай, когда такого ограничения нет. При этом передача полезностей от одного игрока к другому не изменяет их суммарной полезности.

Допустимость обмена полезностями расширяет круг возможных договоренностей игроков, поскольку становятся реализуемыми сделки $(u, v) \not\in S$ , если они удовлетворяют условию

$u + v = \mu_1(p) + \mu_2(p),$

( 15.23)

где p и $\mu_1(p)$ , $\mu_2(p)$ соответственно из (14.2)-(14.4). Т.е. получаемая сторонами суммарная полезность из правой части равенства (15.23) может быть перераспределена между ними в согласованную пару (u,v) за счет побочных платежей.

Это обстоятельство определяет заинтересованность сторон в согласованной реализации такой стратегии p⁺ из (14.2), которая максимизирует суммарную полезность:

$\pi = \mu_1(p^+) + \mu_2(p^+) = \max\{\mu_1(p) + \mu_2(p) \colon p \in S_{m \times n}\}.$

( 15.24)

Задача оценки величины $\pi$ (15.24) эквивалентна линейной программе вида

$\pi = u^+ + v^+ = \max\{u + v \colon (u,v) \in S\}.$

( 15.25)

При этом решению одной из задач (15.24), (15.25) можно сопоставить решение другой из этих задач таким образом, что будут выполняться условия

$u^+ = \mu_1(p^+),\qquad v^+ = \mu_2(p^+).$

Заметим, что в случае, когда допустимое множество S представляет собой плоский многоугольник (как это имеет место в случае биматричных игр), решение задачи (15.25) достигается в одной из неулучшаемых вершин этого многоугольника. Т.е. максимальная возможная величина суммарной полезности $\pi$ может быть достигнута в чистых стратегиях.

Исходя из реализуемости максимального значения из (15.22) и руководствуясь основными идеями схемы Нэша, перейдем к вопросу об оценке сделки (u₊,v₊), которую будут готовы согласовать стороны P₁ и P₂ с учетом побочных платежей. При этом будем полагать, что

$u_{+} + v_{+} = \pi$

( 15.26)

и передача полезностей от одной стороны к другой характеризуется побочными платежами

$\pi_1 = u_{+} - u^{+},\qquad \pi_2 = v_{+} - v^{+}.$

( 15.27)

Первый из них соответствует части выигрыша, которую получает (или передает) сторона P₁, а второй указывает аналогичную величину для стороны P₂. Отметим, что согласно (15.25)-(15.27), $\pi_1 + \pi_2 = 0$ .

При этих предположениях стороны могут согласовать любую сделку из множества

$S_{+} = \{(u,v) \in R^2 \colon u + v \le \pi,\ u \ge u^\ast,\ v \ge v^\ast\},$

( 15.28)

которое заведомо не пусто. В силу простоты треугольного множества S₊, сделка

$(u_{+} + v_{+}) = \varphi(S_{+}, u^\ast, v^\ast),$

( 15.29)

удовлетворяющая аксиомам Нэша, может быть определена как решение системы двух уравнений

$u_{+} + v_{+} = \pi,\qquad u_{+} - u^\ast = v_{+} - v^\ast.$

Отсюда

$u_{+} = \frac{1}{2} \left[\pi + (u^\ast - v^\ast)\right]\!,\quad v_{+} = \frac{1}{2} \left[\pi - (u^\ast - v^\ast)\right]\!,$

( 15.30)

что позволяет оценить также побочные платежи из (15.27).

Пример 3.2. Вернемся к задаче о строительстве с долевым участием (см. "Стратегическое равновесие в 2 x 2 играх" ) и введем новые платежные функции сторон, представленные в табл. 3.2. Пары чистых стратегий ( i=1, j=1 ) и ( i=2, j=2 ), соответствующие двум возможным районам строительства гостиничного комплекса с долевым участием, по-прежнему обладают свойствами устойчивости и эффективности. Однако, как мы уже указывали, при этом нет механизма выбора конкретной пары. Матрицы отражают также, что в случае отказа от строительства комплекса стороны используют свои средства для развития системы предприятий обслуживания. При этом сторона P₁ несет убытки, если она развивает предприятия в "своем" (достаточно насыщенном услугами) районе Р1.

Таблица 3.2.
$A = \begin{vmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix}\!,\qquad B = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 4 \end{vmatrix}$

Допустимое множество S для рассматриваемой задачи представлено на рис. 3.9.

Рис. 3.9.

Точка $(u^\ast, v^\ast) = (2\frac{1}{3},1 \frac{3}{4})$ , оцененная в соответствии с выражениями (14.7), (14.10) и (11.10), также отмечена на рис. 3.9. Дележ

$(u^\circ, v^\circ) = \varphi (S, u^\ast, v^\ast) = (155/48, 170/48),$

удовлетворяющий аксиомам Нэша в задаче без побочных платежей, определен с помощью приема из замечания 3.3 этой лекции (отмечен на рисунке). Этот дележ реализуем рулеткой вида

$p^\circ = (11/48,0,0,37/48).$

Далее, (u⁺,v⁺)=(3,4), $\pi = 7$ и, согласно (15.30), (u₊,v₊)=(91/24,77/24). Т.е. (в случае договоренности) стороны согласованно реализуют пару чистых стратегий ( i=2, j=2 ), и затем вторая сторона выплачивает первой стороне часть своего выигрыша, которой соответствует полезность $\pi_1 = 19/24$ .

Дальше >>

Авторизоваться

Исследование операций и модели экономического поведения

Дележ, отвечающий аксиомам Нэша

Сделки с побочными платежами

Вопросы и ответы