Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского
Опубликован: 26.04.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 1385 / 107 | Оценка: 3.69 / 3.54 | Длительность: 14:45:00
ISBN: 978-5-9556-0072-7
Специальности: Математик
Лекция 16:

Дележ, отвечающий аксиомам Нэша

< Лекция 15 || Лекция 16: 1234 || Лекция 17 >

Сделки с побочными платежами

Согласно сделанному выше предположению (см. замечание в "Сделки без побочных платежей" , функции выигрышей сторон можно интерпретировать как линейно трансферабельные полезности. Однако в предшествующем рассмотрении (при определении допустимого множества S из (14.6)) было введено ограничение, запрещавшее обмен полезностями между сторонами. Теперь мы рассмотрим случай, когда такого ограничения нет. При этом передача полезностей от одного игрока к другому не изменяет их суммарной полезности.

Допустимость обмена полезностями расширяет круг возможных договоренностей игроков, поскольку становятся реализуемыми сделки (u, v) \not\in S, если они удовлетворяют условию

u + v = \mu_1(p) + \mu_2(p), ( 15.23)
где p и \mu_1(p), \mu_2(p) соответственно из (14.2)-(14.4). Т.е. получаемая сторонами суммарная полезность из правой части равенства (15.23) может быть перераспределена между ними в согласованную пару (u,v) за счет побочных платежей.

Это обстоятельство определяет заинтересованность сторон в согласованной реализации такой стратегии p+ из (14.2), которая максимизирует суммарную полезность:

\pi = \mu_1(p^+) + \mu_2(p^+) = \max\{\mu_1(p) + \mu_2(p) \colon p \in S_{m \times n}\}. ( 15.24)
Задача оценки величины \pi (15.24) эквивалентна линейной программе вида
\pi = u^+ + v^+ = \max\{u + v \colon (u,v) \in S\}. ( 15.25)
При этом решению одной из задач (15.24), (15.25) можно сопоставить решение другой из этих задач таким образом, что будут выполняться условия
u^+ = \mu_1(p^+),\qquad v^+ = \mu_2(p^+).

Заметим, что в случае, когда допустимое множество S представляет собой плоский многоугольник (как это имеет место в случае биматричных игр), решение задачи (15.25) достигается в одной из неулучшаемых вершин этого многоугольника. Т.е. максимальная возможная величина суммарной полезности \pi может быть достигнута в чистых стратегиях.

Исходя из реализуемости максимального значения из (15.22) и руководствуясь основными идеями схемы Нэша, перейдем к вопросу об оценке сделки (u+,v+), которую будут готовы согласовать стороны P1 и P2 с учетом побочных платежей. При этом будем полагать, что

u_{+} + v_{+} = \pi ( 15.26)
и передача полезностей от одной стороны к другой характеризуется побочными платежами
\pi_1 = u_{+} - u^{+},\qquad \pi_2 = v_{+} - v^{+}. ( 15.27)
Первый из них соответствует части выигрыша, которую получает (или передает) сторона P1, а второй указывает аналогичную величину для стороны P2. Отметим, что согласно (15.25)-(15.27), \pi_1 + \pi_2 = 0.

При этих предположениях стороны могут согласовать любую сделку из множества

S_{+} = \{(u,v) \in R^2 \colon u + v \le \pi,\ u \ge u^\ast,\ v \ge v^\ast\}, ( 15.28)
которое заведомо не пусто. В силу простоты треугольного множества S+, сделка
(u_{+} + v_{+}) = \varphi(S_{+}, u^\ast, v^\ast), ( 15.29)
удовлетворяющая аксиомам Нэша, может быть определена как решение системы двух уравнений
u_{+} + v_{+} = \pi,\qquad u_{+} - u^\ast = v_{+} - v^\ast.
Отсюда
u_{+} = \frac{1}{2} \left[\pi + (u^\ast - v^\ast)\right]\!,\quad
v_{+} = \frac{1}{2} \left[\pi - (u^\ast - v^\ast)\right]\!, ( 15.30)
что позволяет оценить также побочные платежи из (15.27).

Пример 3.2. Вернемся к задаче о строительстве с долевым участием (см. "Стратегическое равновесие в 2 x 2 играх" ) и введем новые платежные функции сторон, представленные в табл. 3.2. Пары чистых стратегий ( i=1, j=1 ) и ( i=2, j=2 ), соответствующие двум возможным районам строительства гостиничного комплекса с долевым участием, по-прежнему обладают свойствами устойчивости и эффективности. Однако, как мы уже указывали, при этом нет механизма выбора конкретной пары. Матрицы отражают также, что в случае отказа от строительства комплекса стороны используют свои средства для развития системы предприятий обслуживания. При этом сторона P1 несет убытки, если она развивает предприятия в "своем" (достаточно насыщенном услугами) районе Р1.

Таблица 3.2.
A = \begin{vmatrix}
4 & -1 \\
2 & 3
\end{vmatrix}\!,\qquad B = \begin{vmatrix}
2 & 1 \\
1 & 4
\end{vmatrix}

Допустимое множество S для рассматриваемой задачи представлено на рис. 3.9.


Рис. 3.9.

Точка (u^\ast, v^\ast) = (2\frac{1}{3},1 \frac{3}{4}), оцененная в соответствии с выражениями (14.7), (14.10) и (11.10), также отмечена на рис. 3.9. Дележ

(u^\circ, v^\circ) = \varphi (S, u^\ast, v^\ast) = (155/48, 170/48),
удовлетворяющий аксиомам Нэша в задаче без побочных платежей, определен с помощью приема из замечания 3.3 этой лекции (отмечен на рисунке). Этот дележ реализуем рулеткой вида
p^\circ = (11/48,0,0,37/48).

Далее, (u+,v+)=(3,4), \pi = 7 и, согласно (15.30), (u+,v+)=(91/24,77/24). Т.е. (в случае договоренности) стороны согласованно реализуют пару чистых стратегий ( i=2, j=2 ), и затем вторая сторона выплачивает первой стороне часть своего выигрыша, которой соответствует полезность \pi_1 = 19/24.

< Лекция 15 || Лекция 16: 1234 || Лекция 17 >
Михаил Агапитов
Михаил Агапитов

Не могу найти  требования по оформлению выпускной контрольной работы по курсу профессиональной переподготовки "Менеджмент предприятия"

Подобед Александр
Подобед Александр

Я нажал кнопку "начать курс" и почти его уже закончил, но для получения диплома на бумаге, нужно его же оплатить? Как оплатить?