Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского
Опубликован: 26.04.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 1362 / 91 | Оценка: 3.69 / 3.54 | Длительность: 14:45:00
ISBN: 978-5-9556-0072-7
Специальности: Математик
Лекция 20:

Минимаксные критерии для задач с неизвестным априорным распределением

< Лекция 19 || Лекция 20: 12
Аннотация: Минимаксный критерий в задаче проверки простой гипотезы относительно простой альтернативы. Проверка по отношению правдоподобия в случае трех решений.

Рассмотрим случай, когда статистик руководствуется оценкой априорного распределения (17.6), задаваемой вероятностью \zeta' из некоторого подынтервала [\zeta_i, \zeta_{i+1}). Если при этом истинному распределению соответствует значение \zeta'' из того же подинтервала [\zeta_i, \zeta_{i+1}), то ожидаемые потери \rho_i(\zeta''), определяемые функцией (18.26), совпадают с байесовским риском, поскольку значениям \zeta' и \zeta'' соответствует одна и та же критическая область Q1(i) из (18.17).

Возможно, однако, что истинное значение \zeta'' вероятности появления первого состояния природы принадлежит другому интервалу [\zeta_j, \zeta_{j+1}), j \ne i. Тогда байесовскому критерию относительно этого распределения соответствует другая критическая область Q1(j) из (18.17) и, следовательно, байесовский риск \rho(\zeta'') определяется выражением (18.21) при других вероятностях ошибок первого и второго рода. Поэтому может случиться, что ожидаемые потери \rho_i(\zeta'') окажутся значительно больше потерь \rho_j(\zeta''), соответствующих байесовскому риску. Более того, они могут оказаться выше, чем максимально возможный байесовский риск \rho^\circ из (18.27). Именно такой случай представлен на рис. 4.4.

Поэтому в случае неизвестного априорного распределения для состояний природы, целесообразно использовать минимаксную стратегию, которая гарантирует уровень ожидаемых потерь, не превышающий значения \rho^\circ из (18.27).

В рассматриваемом классе задач такая стратегия может быть построена как случайная смесь двух чистых стратегий. Эти чистые стратегии задаются критическими областями Q1(i-1) и Q1(i). При этом номер i соответствует точке \zeta_i, в которой достигается максимум функции \rho(\zeta), т.е. \zeta_i = \zeta^\circ. Указанным областям Q1(i-1) и Q1(i) соответствуют функции \rho_{i-1}(\zeta) и \rho_i(\zeta) из (18.26), удовлетворяющие условиям

\rho_{i-1}(\zeta^\circ) = \rho_i(\zeta^\circ) = \rho^\circ, ( 19.1)
\beta_{i-1} - w \alpha_{i-1} > 0 > \beta_i - w \alpha_i. ( 19.2)

Пусть критическая область Q1(i-1) используется с вероятностью \gamma, а область Q1(i) - с вероятностью 1- \gamma (0\le \gamma \le 1). Тогда ожидаемые потери статистика определяются взвешенной суммой

E(\zeta, \gamma) = \gamma\rho_{i-1}(\zeta) + (1 - \gamma)\rho_i(\zeta). ( 19.3)
В силу (19.1) и 19.2, существует значение \gamma^\circ, 0 < \gamma^\circ < 1, обеспечивающее выполнение равенств
E(\zeta, \gamma^\circ) = \rho^\circ,\quad 0 \le \zeta \le 1. ( 19.4)
Следовательно, смешанная стратегия, определенная значением \gamma^\circ из (19.4), является минимаксной стратегией статистика.

Подставим правую часть выражения (18.26) во взвешенную сумму (19.3). В полученном выражении приравняем к нулю коэффициент при \zeta и из этого равенства выведем формулу для значения вероятности \gamma^\circ, удовлетворяющего условию (19.4):

\gamma^\circ = \frac{w \alpha_i - \beta_i}{p_1(z_i) + wp_2(z_i)}. ( 19.5)

При этом

\rho^\circ = w[\alpha_i - \gamma^\circ p_2(z_i)]. ( 19.6)

В качестве иллюстрации укажем, что для функции байесовских потерь, представленной на рис. 4.4, условие (19.2) выполняется для значения i=3 и, согласно (19.5) и (19.6), имеют место оценки \gamma^\circ = 0{,}5 и \rho^\circ = 0{,}2. Следовательно, минимаксная стратегия для примера, характеризуемого данными из табл. 4.4, обеспечивается равновероятным использованием критических областей Q1(2)={z1,z2}, и Q1(3)= {z1,z2,z3}.

Замечание 4.4. Поскольку Q_1(i-1) \subset Q_1(i), то попадание выборочной точки z в критическую область Q1(i-1) ведет к отвержению нуль-гипотезы независимо от того, какой из двух критериев будет выбран рулеткой, соответствующей рассмотренной смешанной стратегии. Принятие нуль-гипотезы при появлении любого исхода zj, i < j\le N, также не зависит от результата случайного выбора критериев. Случайный выбор оказывается существенным лишь в случае, когда исходом испытания является значение zi, поскольку z_i \not\in Q_1(i-1) и z_i \in Q_1(i).

Поэтому естественно задавать процедуру случайного выбора с помощью набора условных распределений вида

\eta_z = (\eta(1/z), \eta(2/z)) \in S_2,\quad z \in Z, ( 19.7)
где \eta(1/z) есть вероятность отвержения нуль-гипотезы после наблюдения выборочной точки z, а \eta(2/z) есть вероятность ее принятия при том же условии. При этом набор (19.7) условных распределений \eta_z, обеспечивающий реализацию указанной процедуры, определяется следующими условиями (эти условия гарантируют тот же уровень ожидаемых потерь, что и рассмотренная выше минимаксная стратегия ):
\eta(1/z_j) = \left\{
\begin{aligned} & 1, && 1 \le j < i,\\ & 1-\gamma^\circ, && i=j,\\
& 0, && i < j \le N,
\end{aligned}
\right.\qquad
\eta(2/z_j) = \left\{
\begin{aligned} & 0, && 1 \le j < i,\\ & \gamma^\circ, && i=j,\\
& 1, && i < j \le N,
\end{aligned}
\right. ( 19.8)

Как следует из вида распределений (19.8), фактический запуск случайного механизма необходим лишь в тех случаях, когда исход испытания совпадает с единственным значением zi.

Отметим еще одно обстоятельство. Как следует из (17.18) и (17.20), байесовское решение относительно любого заданного распределения \xi достижимо в классе чистых стратегий d\in D. В случае, когда одна из функций \rho_i(\zeta) из (18.26) удовлетворяет условию \beta_i =  w \al_i и, следовательно1Равенства (19.9) являются следствием вогнутости функции байесовского риска.,

\rho_i(\zeta) = \rho^\circ,\quad 0 \le \zeta \le 1, ( 19.9)
критерий, определяемый критической областью Q_1(i), является чистой минимаксной стратегией статистика. Однако, в общем случае, условия (19,9) могут не иметь места. Тогда минимаксная стратегия статистика реализуема лишь в классе процедур, использующих случайные механизмы выбора.

< Лекция 19 || Лекция 20: 12
Михаил Агапитов
Михаил Агапитов

Не могу найти  требования по оформлению выпускной контрольной работы по курсу профессиональной переподготовки "Менеджмент предприятия"

Подобед Александр
Подобед Александр

Я нажал кнопку "начать курс" и почти его уже закончил, но для получения диплома на бумаге, нужно его же оплатить? Как оплатить?