Нормальная форма конечной игры. Задание конечной игры в позиционной форме

Задание конечной игры в позиционной (или развернутой) форме

Примеры операций, рассмотренные выше, были непосредственно представимы моделями в нормальной форме (см. определение в "Математическая модель задачи выбора решений" ). При этом каждая сторона однократно осуществляла свой выбор, и совокупный выбор сторон определял полезность (для каждой из них) соответствующего исхода. В тех случаях, когда содержащиеся в задаче неуправляемые параметры (состояния природы) порождали неопределенность исхода, эта неопределенность могла быть исключена либо путем перехода к оценкам, основанным на гарантированном результате, либо путем перехода к математическим ожиданиям оценок.

Существуют, однако, операции, в ходе которых стороны многократно осуществляют выбор своих решений, т.е. процесс принятия решений развертывается во времени и не сводится к единственному выбору. Типичным (и хорошо известным) примером такого рода является игра в шахматы. Т.е. исходное описание операции, возникающее в приложениях, может отличаться от нормальной формы. Рассмотрим один из примеров такого рода.

Пример 2.3 (погоня за конкурентом). Пусть торговая фирма P₁ обеспечивает населенные пункты П2, П4 и П5 некоторым потребляемым продуктом с ограниченным сроком хранения (например, свежей рыбой, перевозимой в цистернах с водой). При этом товар (от достаточно удаленного поставщика) поступает в пункт П4, который является исходной точкой двух маршрутов, используемых фирмой P₁. Первый маршрут включает последовательные переезды из П4 в П2 и затем из П2 в П5 с последующим возвращением из П5 в П4. Будем обозначать этот маршрут символом МП2. Второй (более короткий) маршрут предполагает переезд из П4 в П5 с возвращением в П4. Обозначим его МП5. Указанные населенные пункты и связывающие их маршруты изображены на схеме, представленной на рис. 2.1 (варианты путей, возможных для фирмы P₁, отмечены на рисунке жирными линиями).

Примем теперь, что некоторая другая фирма P₂, создающая свою собственную производственную базу (например, на прудах) в малонаселенном пункте П3 и еще не имеющая значительных объемов производства, планирует подготовку потребителей к положительному восприятию своего продукта. Планируемая акция состоит в проведении продаж ограниченного объема, нацеленных на демонстрацию исключительно высокого качества предлагаемого товара (при прочих равных условиях). Заметим, что в случае торговли свежей рыбой указанное преимущество может определяться близостью источника поставки, создаваемого фирмой P₂, и удаленностью такого источника у фирмы P₁.

Рис. 2.1.

Фирма P₂ ставит задачу продавать малые партии своего товара одновременно и одноместно с продажами, которые осуществляет давно действующая на рынке фирма P₁. Ожидается, что такой подход усилит рекламный эффект за счет непосредственной демонстрации уже упомянутого превосходства качества. Для этой цели фирма P₂ может воспользоваться следующими двумя маршрутами, отмеченными тонкими линиями на рис. 2.1. Первый маршрут включает последовательные переезды из П3 в П2, затем из П2 в П1 и далее из П1 в П5. Маршрут завершается возвращением в П3. Обозначим его МП2. Включенный в этот маршрут пункт П1 (см. верхнюю часть схемы на рис. 2.1) является новостройкой, и фирма P_1, продающая большие партии товара, еще не торгует в П1. Поэтому новая фирма P₂ полагает важным зафиксировать свое присутствие в этом пункте. Второй маршрут предполагает доставку и продажу товара в П4 с возвращением в П3. Обозначим его МП4.

Заметим, что конфигурация возможных маршрутов может быть следствием характера транспортной сети. Например, возможно, что пункты П1, П2 и пункты П3-П5 находятся на разных берегах реки и при этом мостовые переправы, ведущие в П2 из П3, П4 и в П5 из П1, П2, временно открыты лишь в одну сторону.

Принятая P₂ линия поведения состоит в том, чтобы, установив факт получения товара фирмой P₁ (свидетельством чего могут быть начавшиеся продажи этого товара в пункте П4), реализовать продажи на одном из собственных маршрутов. Будем полагать, что большой объем партии товара, получаемой фирмой P₁, допускает неоднократное возвращение в пункт П4 с последующим выбором маршрута продолжения продаж. При этом ограниченный объем каждой пробной партии товара, реализуемой фирмой P₂, позволяет ей осуществить описанную рекламную акцию лишь на одном из маршрутов.

Следующее важное обстоятельство касается того, информирована ли фирма P₂ в момент выбора своего маршрута о том маршруте, по которому товар фирмы P₁ покинет пункт П4. Поэтому мы будем рассматривать два случая. Первый из них связан с предположением о том, что каждый раз, когда фирма P₁ покидает пункт П4, фирма P₂ информирована о маршруте, выбранном P₁ (до принятия своего решения). Во втором случае мы будем полагать такую информацию отсутствующей.

Время перемещения продаж из одного населенного пункта, лежащего на маршруте, в другой населенный пункт (лежащий на том же маршруте) примем за единицу. Будем считать его одинаковым для обеих фирм. Примем также, что время самих продаж в населенном пункте тоже составляет единицу. Дополним это предположение условием, что фирма P₂ начинает реализацию выбранного маршрута из пункта П3 в момент, когда товар фирмы P₁ покинул П4 и появился в другом пункте. Т.е. временное запаздывание, необходимое P₂ для получения информации о поступлении товара для фирмы P₁ и для подготовки своей рекламной акции, составляет две единицы времени.

При этих допущениях можно считать, что фирмы P₁ и P₂ совершают переходы между пунктами по очереди. Схема на рис. 2.1иллюстрирует возможную последовательность таких переходов, соответствующую случаю, когда фирма P₁ сначала реализует маршрут МП5, а затем (после возвращения в П4) - маршрут МП2. Целые числа около дуг маршрутов P₁ и P₂, соединяющих населенные пункты, есть порядковые номера периодов времени, в которые совершались соответствующие переходы.

Как следует из диаграммы, в первый единичный период фирма P₁ перевозит свой товар из П4 в П5. Затем (пока P₁ осуществляет продажи в П5) фирма P₂ перевозит свой товар из П3 в П2 (второй единичный период). В третьем периоде P₁ возвращается в П4 (в это время P₂ торгует в П2). В четвертом периоде P₂ перемещается из П2 в П1. Далее P₁ переходит из П4 в П2 (пятый период). В шестом периоде P₂ переходит в пункт П5, куда (в седьмом периоде) прибывает и товар фирмы P₁. Будем интерпретировать этот случай как окончание погони, поскольку при этом P₂ имеет возможность торговать одновременно и одноместно с P₁.

Случай, когда сторона P₂ возвращается в пункт П3, распродав свой товар и не столкнувшись (одновременно и одноместно) с товаром другой стороны ни в одном из населенных пунктов на своем маршруте, будем также интерпретировать как окончание погони.

Примем, что интересы P₂ требуют реализовать одновременную и одноместную с P₁ продажу (как и вообще все свои продажи) как можно раньше. При этом в большей степени сохраняется свежесть товара (предлагаемого P₂ ), определяющая его конкурентные преимущества.

Интересы стороны P₁ полагаются противоположными интересам стороны P₂. Будем оценивать полезность, которую обеспечивает себе сторона P₁ в любой реализации рассматриваемого конфликта, как число периодов времени, которые прошли до окончания погони.

Условия рассмотренной операции допускают следующее наглядное (графическое) описание.