НОУ ИНТУИТ | Исследование операций и модели экономического поведения. Лекция 4: Устойчивость и эффективность поведения сторон: совместимость свойств устойчивости и эффективности

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского

Опубликован: 26.04.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 1392 / 112 | Оценка: 3.69 / 3.54 | Длительность: 14:45:00

ISBN: 978-5-9556-0072-7

Тема: Математика

Специальности: Математик

|

Вам нравится? Нравится 24 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Проблема эффективности свойств устойчивости и эффективности решений

Пример 1.2 ( Дуополия^{3 Дуополия - рынок, на котором действуют всего два продавца, которые не могут
игнорировать друг друга.} Курно^{4Курно Антуан Огюстен (1801-1877) - французский
математик и экономист, предшественник математической школы в экономике.} ). Рассмотрим один из вариантов модели рынка однородного товара, согласно которой на рынке действуют две фирмы P₁ и P₂, предлагающие для продажи в рассматриваемом периоде соответственно q₁ и q₂ единиц указанного товара (который мы будем считать сколь угодно дробимым ). Таким образом, любое решение производителей P₁ и P₂, задаваемое парой q₁,q₂, определяет общее количество товара

$Q=q_1+q_2,\quad q_1\ge 0,\, q_2\ge 0,$

( 3.5)

предлагаемого для продажи в данный период. Примем, что клиринговая цена

(т.е. цена, по которой осуществляются расчеты по сделкам) зависит от количества поступившего на рынок товара и эта зависимость определяется выражением

$p(Q)= \left\{\begin{aligned} &\gamma (a-Q),& Q<a,\\ &0, &Q\ge a.\\ \end{aligned} \right.$

( 3.6)

Замечание 1.10 (о выборе диапазона цен). Как следует из (3.6), с ростом объема Q товара, поступающего на рынок, цена p линейно убывает до нулевого значения и остается на этой отметке при дальнейшем увеличении объемов поступлений. Разумеется, что производители не будут расширять производство при падении цен до нулевого уровня. Т.е. на любом реальном рынке заведомо выполняется условие Q<a и, следовательно, графический образ множества стратегических пар (q₁,q₂), которые могут реализоваться, заведомо ограничен треугольником

$q_1+q_2\le a,\quad q_1\ge 0,\, q_2\ge 0,$

( 3.7)

изображенным жирными линиями на рис.1.5. Однако, если ограничить решения сторон парами (q₁,q₂) из треугольника (3.7), то возможности выбора одной стороны оказываются связанными с фактическим выбором, осуществленным другой стороной. Это обстоятельство затрудняет непосредственное использование введенных выше понятий равновесия по Нэшу и оптимальности по Парето, поскольку их определения предполагают, что стороны независимы в выборе своих стратегий.

Рис. 1.5.

Поэтому мы будем полагать, что определяемые сторонами P₁ и P₂ объемы предложения q₁ и q₂ могут соответствовать любой точке (q₁,q₂) из квадранта (3.5). Т.е. мы принимаем, что множества X и Y стратегий сторон P₁ и P₂ есть

$X=[0,\infty),\quad Y=[0,\infty).$

( 3.8)

Множества стратегий сторон, задаваемые условиями (3.8), допускают использование произведения $X\times Y$ в определениях равновесия по Нэшу и оптимальности по Парето.

Примем, для простоты рассмотрения, что условия производства на обеих фирмах являются одинаковыми и не предполагают постоянных затрат. Тогда общие затраты C_i, осуществляемые фирмой P_i для производства товара в количестве q_i, определяются величиной

$C_i(q_i)=cq_i,\quad i=1,2,$

( 3.9)

где параметр c является константой (фактически, мы также дополнительно предположили линейную зависимость затрат от объемов выпуска).

Пусть $\pi_i$ есть прибыль, получаемая фирмой P_i и представляющая собой разность дохода этой фирмы и осуществленных ею затрат (3.9). При сделанных предположениях зависимость прибыли ( $\pi_i$ фирмы P_i от объемов выпуска обеих фирм, имеет вид

$\pi_i(q_1,q_2)=q_i p(Q)-cq_i.$

Отсюда (после подстановки (3.6)) получаем выражение

$\pi_i(q_1,q_2)=-cq_i+ \left\{ \begin{aligned} &\gamma q_i(a-q_1-q_2), &q_1+q_2<a,\\ &0, &q_1+q_2\ge a,\\ \end{aligned} \right.$

( 3.10)

которое в треугольнике (3.7) описывается более простой формулой

$\pi_i(q_1,q_2)=\gamma q_i(a-\alpha-q_1-q_2),\, q_1+q_2\le a,\, q_1\ge 0,\, q_2\ge 0,\, \alpha=c\gamma^{-1}.$

( 3.11)

При этом согласно (3.11), в подобласти треугольника (3.7), описываемой условиями

$q_1+q_2\le a-\alpha,\quad q_1\ge 0,\, q_2\ge 0,$

( 3.12)

прибыль является неотрицательной (см. рис.1.5).

Соотношения (3.8) и (3.10) задают нормальную форму игры двух лиц, причем выражения (3.10) для прибыли, получаемой сторонами P₁ и P₂ в результате продажи товара, играют роль критериев эффективности, в максимизации которых заинтересованы эти стороны. Заметим, что интересы сторон в построенной игре являются несовпадающими и не противоположными.

Исследуем вопрос о существовании устойчивых (по Нэшу) решений в рассматриваемой игре. Определим условия, при которых достигается максимум по q_i от прибыли $\pi_i(q_1,q_2)$ , получаемой стороной P_i в предположении, что объем товара q_j, продаваемого другой стороной P_j $(i\ne j)$ , является фиксированным. С этой целью рассмотрим производную

$\frac{d\pi_i(q_1,q_2)}{dq_i}= \left\{\begin{aligned} & -c,&q_1+q_2>a,\\ & \gamma\left[(a-\alpha)-2q_i-q_j\right],&q_1+q_2<a,\\ \end{aligned} \right.$

( 3.13)

которая определена в квадранте (3.5) всюду, кроме точек, лежащих на прямой q₁+q₂=a. Допустим, что

$q_j\le a-\alpha.$

( 3.14)

Тогда производная (3.13) имеет нулевые значения во всех точках прямой

$q_i=(a-\alpha-q_j)/2,$

( 3.15)

лежащих в квадранте (3.5). При этом условие (3.14) выполняется во всех таких точках и, кроме того, вторая производная по q_i от прибыли $\pi_i(q_1,q_2)$ является отрицательной.

Таким образом, на отрезке прямой (3.15), соответствующей случаю i=1, j=2 и лежащей в первом квадранте (3.5), достигается максимум прибыли стороны P₁ (при вариации объема выпуска q₁ и фиксированном объеме q₂ ). Указанный отрезок нанесен на рис.1.6. Отрезок, состоящий из точек максимума прибыли стороны P₂ и соответствующий случаю i=2, j=1 также нанесен на рис.1.6. При этом, согласно (3.11), прибыль $\pi_1(q_1,q_2)$ стороны P_i в точках (q₁,q₂), лежащих на прямой (3.15), определяется выражением

$\pi_(q_1,q_2)=\gamma (q_i)^2,\quad q_i=(a-\alpha-q_j)/2,\quad i=1,2,$

( 3.16)

и, следовательно, растет с увеличением объема q_i. Указанные направления роста прибыли вдоль отрезков прямых линий вида (3.15) отмечены стрелками на рис. рис.1.6.

Рис. 1.6.

Прямые линии (3.15), соответствующие случаям i=1, j=2 и i=2, j=1, пересекаются в точке с координатами

$x^*=(a-\alpha)/3,\quad y^*=(a-\alpha)/3,$

( 3.17)

которая одновременно является точкой максимума прибыли $\pi_1(q_1y^*)$ по q₁ и точкой максимума прибыли $\pi_2(x^*,q_2)$ по q₂. Таким образом:

$\begin{aligned} &(\forall q_1\in X)\, \pi_1(x^*,y^*)\ge \pi_1(q_1,y^*),\\ &(\forall q_2\in Y)\, \pi_2(x^*,y^*)\ge \pi_2(x^*,q_2),\\ \end{aligned}$

( 3.18)

и, следовательно, точка (x^*,y^*)

из (3.17) есть стратегическая точка равновесия. При этом, согласно (3.16) и (3.17), уровень прибыли, достижимый в точке равновесия, оказывается одинаковым для обеих сторон и составляет величину

$\pi^*=\pi_1(x^*,y^*)=\pi_2(x^*,y^*)=\gamma (a-\alpha)^2/9.$

( 3.19)

Дальше >>

Авторизоваться

Исследование операций и модели экономического поведения

Устойчивость и эффективность поведения сторон: совместимость свойств устойчивости и эффективности

Проблема эффективности свойств устойчивости и эффективности решений

Вопросы и ответы