НОУ ИНТУИТ | Введение в алгебру. Лекция 10: Подстановки, перестановки

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

Опубликован: 09.09.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 5328 / 595 | Оценка: 4.35 / 3.78 | Длительность: 13:51:00

ISBN: 978-5-9556-0038-3

Тема: Математика

Специальности: Математик

|

Вам нравится? Нравится 69 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Четность перестановок и подстановок

Будем говорить, что числа i и j в перестановке (...,i,...,j,...) образуют инверсию, если число i расположено левее, чем j, но i>j (в противном случае будем говорить, что числа i и j расположены в правильном порядке). Ясно, что сумма числа всех инверсией и числа всех порядков в любой перестановке из n чисел 1,2,...,n равна $C_n^2=\frac{n(n-1)}{2}$ .

Пример 5.4.1. Число инверсий в перестановке (1,2,...,n) равно нулю, в перестановке (n,n-1,...,2,1) равно $\frac{n(n-1)}{2}$ .

Удобный алгоритм подсчета числа инверсий: считаем, сколько инверсий образует 1 (все числа, находящиеся левее), после чего вычеркиваем 1 и переходим к 2 и т. д.

Теорема 5.4.2. Транспозиция в перестановке меняет четность числа инверсий.

Доказательство. Рассмотрим транспозицию элементов i и j:

$(...,i,...,j,...)\mapsto (...,j,...,i,...).$

Сначала рассмотрим случай "соседей":

$(...,i,j,...)\mapsto (...,j,i,...).$

Так как при перестановке чисел i и j их отношение с числами, расположенными левее (как и правее) не изменяется, то число инверсий изменяется на единицу (т. е. $\pm 1$ ), следовательно, четность числа инверсий изменяется.

Если же между числами i и j находится k элементов, то последовательно переставляя i с правыми соседними элементами k раз, потом с j, затем переставляя k раз элемент j с левыми соседними элементами, мы, проведя k+1+k=2k+1 транспозиций соседних элементов, осуществим транспозицию чисел i и j. Таким образом, четность изменилась.

Следствие 5.4.3. Число четных перестановок при $n \geq 2$ равно числу нечетных перестановок и равно $\frac{n!}{2}$ .

Доказательство. Расположив все n! перестановок, начиная, например, с (1,2,...,n), в список, в котором каждая следующая перестановка получается из предыдущей одной транспозицией, мы видим, что четные перестановки чередуются с нечетными, поэтому число четных перестановок равно числу нечетных и равно $\smash[b]{\frac{n!}{2}}$ .

Четность подстановки

$\begin{pmatrix} i_1 & ... & i_n\\ j_1 & ... & j_n \end{pmatrix}$

определяется как четность суммы числа инверсий в верхней строчке и числа инверсий в нижней строчке.

Предложение 5.4.4. Четность подстановки $\sigma\in S_n$ не зависит от ее записи.

Доказательство. Если

$\sigma= \begin{pmatrix} i_1 & ... & i_n\\ \sigma(i_1) & ... & \sigma(i_n) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} i'_1 & ... & i'_n\\ \sigma(i'_1) & ... & \sigma(i'_n) \end{pmatrix}\text{ -}$

две записи подстановки $\sigma\in S_n$ , то, переходя конечным числом транспозиций от перестановки (i_1,...,i_n) к перестановке (i'₁,...,i'_n), переставляя при этом соответствующие "столбики"

$\begin{pmatrix} i\\ \sigma(i) \end{pmatrix},$

приходим от нижней строчки $(\sigma(i_1),...,\sigma(i_n))$ к строчке $(\sigma(i'_1),...,\sigma(i'_n))$ . Перестановка двух "столбиков" является транспозицией в верхней и в нижней строчках, следовательно, меняется четность в верхней и в нижней строчках, в итоге четность суммы числа транспозиций в верхней и в нижней строчке при перестановке двух "столбиков" не изменится.

Замечание 5.4.5. Подстановка, обратная к четной подстановке, четная. Действительно, если

$\sigma = \begin{pmatrix} i_1 & i_2 & ... & i_n\\ j_1 & j_2 & ... & j_n \end{pmatrix}$

четная, то

$\sigma^{-1} = \begin{pmatrix} j_1 & ... & j_n\\ i_1 & ... & i_n \end{pmatrix}$

четная.

Четность произведения подстановок

Возможность использовать произвольную запись подстановки удобна для рассмотрения произведения:

$\begin{pmatrix} i_1 & ... & i_n\\ j_1 & ... & j_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & ... & n\\ i_1 & i_2 & ... & i_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & ... & n\\ j_1 & j_2 & ... & j_n \end{pmatrix},$

откуда следует

Лемма 5.5.1 (о четности произведения).

$\begin{array}[b]{|c|c|c|} \sigma & \tau & \sigma\tau\\ \hline \textup{ч} & \textup{ч} & \textup{ч}\\ \hline \textup{н} & \textup{ч} & \textup{н}\\ \hline \textup{ч} & \textup{н} & \textup{н}\\ \hline \textup{н} & \textup{н} & \textup{ч}\\ \end{array}\;.$

Рассмотрим отображение

$\begin{align*} & \varepsilon\colon \mS_n \to \{1,-1\},\\ & \varepsilon(\sigma) = \begin{cases} 1, & \text{если $\sigma$"--- чётная подстановка},\\ -1, & \text{если $\sigma$"--- нечётная подстановка}. \end{cases} \end{align*}$

Замечание 5.5.2. Напомним, что {1,-1} - коммутативная группа относительно операции произведения. Действительно, произведение является операцией на {1,-1} ; эта операция ассоциативна и коммутативна; 1 - нейтральный элемент; (1)^-1=1, (-1)^-1=-1.

Следствие 5.5.3. Если $\sigma,\tau\in S_n$ , то:

$\varepsilon(\sigma\tau)=\varepsilon(\sigma)\varepsilon(\tau)$

(т. е. $\sigma: S_n\to \{1,-1\}$ - гомоморфизм групп);

$\varepsilon(\sigma)=\varepsilon(\sigma^{-1}).$

Следствие 5.5.4. Если $\sigma=\tau_1...\tau_k$ - разложение подстановки $\sigma\in S_n$ в произведение транспозиций $\tau_1,...,\tau_k$ , то $\varepsilon(\sigma)=(-1)^k$ .

Доказательство. Отметим только, что если $\tau=(i\quad j)$ - транспозиция, то $\varepsilon((i\quad j))=-1$ .

Упражнение 5.5.5. $\varepsilon((i_1\quad...\quad i_r))=(-1)^{r-1}$ для цикла (i_1... i_r) длины r, $r \geq 2$ .

Теорема 5.5.6. Четные подстановки A_n являются группой (подгруппой в группе подстановок S_n ) $|A_n|=\frac{n!}{2}$ при $n \geq 2$ .

Доказательство. Так как произведение $\sigma\tau$ четных подстановок $\sigma,\tau\in A_n$ является четной подстановкой, то имеем операцию произведения на множестве A_n, которая ассоциативна. Тождественная подстановка четная и является нейтральным элементом в A_n. Если $\sigma\in A_n$ , то мы уже отметили, что $\sigma^{-1}\in A_n$ .

Задача 5.5.7.Найти разбиение в классы сопряженных элементов групп A₄, A₅.

Задача 5.5.8. Группа A_n, $n \geq 3$ , порождается тройными циклами (любой элемент группы A_n является произведением тройных циклов и обратных к ним; обратный элемент к тройному циклу сам является тройным циклом).

Указание Четная подстановка может быть представлена в виде произведения четного числа транспозиций, при различных i, j, k (i k)(i j)=(i j k), при различных i, j, k, l (i j)(k l)=(j k l)(i l j).

Дальше >>

Авторизоваться

Введение в алгебру

Подстановки, перестановки

Четность перестановок и подстановок

Четность произведения подстановок

Вопросы и ответы