Множественная регрессия

3.5. Доверительные интервалы для коэффициентов регрессии и проверка гипотезы об их значимости

В условиях Гаусса - Маркова оценки имеют нормальное распределение и, как установлено ранее, . Обозначим дисперсию этих оценок . Тогда случайная величина является нормированной нормально распределенной величиной, т.е. имеет нулевое математическое ожидание и единичную дисперсию. Вместе с тем можно показать, что отношение имеет распределение . Поэтому выражение

(3.22)

имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы . Если выбранный уровень значимости, то по таблицам распределения определяем значение , для которого неравенство справедливо с вероятностью . Из равенства (3.21) и последнего неравенства получаем

(3.23)

Учитывая соотношение (3.15), окончательно имеем

(3.24)

Оценка неравенства (3.24) позволяет проверить гипотезу о равенстве нулю неизвестного параметра . Если эта гипотеза справедлива, то выборочная оценка может отличаться от нуля лишь за счет случSайных возмущений. Рассмотрим выражение (3.22) при . Определив по таблицам распределения по заданному уровню значимости a и известному числу степеней свободы , соответствующему , делаем вывод:

1. если , то коэффициент значим, т.е. ;
2. если , то коэффициент незначимо отличается от нуля и соответствующим слагаемым в регрессионной модели, возможно, следует пренебречь.