Функция распределения случайной величины. Виды распределения
Свойства функции плотности распределения f(x)
Для непрерывной случайной величины можно определить не только функцию распределения, которая является интегральной характеристикой случайной величины, но и дифференциальную функцию. Такая функция называется плотностью распределе-ния или дифференциальным законом распределения случайной величины.
Для определения функции плотности распределения разобьем весь интервал на элементарные отрезки . Тогда вероятность попадания случайной величины в этот интервал будет (по свойству 2) равно
Разделим последнее выражение на и будем уменьшать до нуля. Тогда, переходя к пределу, получим( 4) |
Кривая функции плотности распределения (4) будет иметь вид, представленный на рис.9.4 . Очевидно, что будет являться первообразной функции , т.е. используя определение интеграла, можно установить математическую зависимость между и , т.е. по определению интеграла
функция распределения численно равна площади под кривой на интервале . Тогда, на основании свойства 4 функции распределения, можно записатьОпределение. Случайная величина называется непрерывной, если ее функция распределения представлена непрерывной функцией для любой точки из области , а функция плотности распределения существует везде, за исключением, может быть, конечного числа точек.
Вследствие равенства (4) из свойств функции распределения вытекают свойства функции плотности распределения .
Свойство 1. Дифференциальная функция распределения не отрицательна для любого из ее области определения .
Свойство 2. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал равен определенному интегралу от функции плотности распределения на этом интервале
( 5) |
Свойство 3. Интегральная функция распределения случайной величины может быть выражена через функцию плотности вероятностей по формуле
( 6) |
Свойство 4. Площадь под кривой плотности распределения на всей ее области определения равен единице
( 7) |
Свойство 5. Математическое ожидание непрерывной случайной величины вычисляется по формуле
( 8) |
Свойство 6. Дисперсия непрерывной случайной величины вычисляется по формуле
( 9) |
Равномерное распределение
Непрерывная случайная величина имеет равномерное распределение на и полуинтервале , если на этом интервале плотность распределения случайной величины (рис.9.6 ) постоянна, а вне этого интервала равна нулю, т.е.
( 10) |
Такое распределение случайной величины еще называют законом равномерной плотности. Найдем величину , пользуясь свойством 4 функции плотности распределения и формулами (7) и (10):
откуда получаем( 11) |
( 12) |
( 13) |
( 14) |
Определим теперь математическое ожидание на основании свойства 5 и формул (8) и (12) для равномерного распределения. Получим
( 15) |
Свойство математического ожидания, выраженное формулой (15) является признаком, по которому можно установить, что данные экспериментального ряда распределены по равномерному закону. Это можно использовать и для дискретного ряда.
Пример 2. Определить тип распределения для вариационного ряда
Решение. Найдем математическое ожидание ряда по обычной формуле
и вычислим по формуле (15) Сравнивая результаты, получаем, что оба значения различаются между собой меньше, чем на 10 %, поэтому заключаем, что данный вариационный ряд, скорее всего, подчиняется равномерному закону.Определим остальные статистические характеристики распределения.
( 16) |
( 17) |
( 18) |
( 19) |
( 20) |
Характеристики (16) – (20) равномерного распределения можно использовать всякий раз, когда по (15) установлено, что данный экспериментальный ряд подчиняется равномерному закону распределения.