Опубликован: 28.04.2012 | Доступ: свободный | Студентов: 2740 / 588 | Оценка: 3.86 / 2.57 | Длительность: 07:45:00
Специальности: Математик, Преподаватель
Лекция 5:

Функция распределения случайной величины. Виды распределения

Аннотация: Подробно рассматриваются основные характеристики случайной величины и виды распределения.

Функция распределения

Известно, что если события составляют полную совокупность, то $\sum\limits_{i=1}^N P_{i}=1$. Тогда совокупность всех возможных значений случайной величины и соответствующих им вероятностей составляет распределение случайной величины.

Определение. Законом распределения или функций распределения случайной величины называется всякое соответствие между всевозможными значениями случайной величины и соответствующим им вариантом.

Определение. Случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной не зависит от закона распределения другой.

В противном случае величины будут зависимыми.

Для дискретной случайной величины, которая может принимать значения $x_{1}, x_{2}, \cdots,  x_{n}$ _ функция распределения имеет вид:

\[F \left ( X \right )=\sum\limits_{x_{i}<x} \left ( X < x_{i}\right )] ( 1)

Выражение (1) читается так: "функция распределения численно равна вероятности того, что случайная величина $X$ примет значение не больше, чем $x_{i}$ ".

Пусть теперь некоторая случайная величина примет значения из ряда $x_{1},x_{2}, x_{3},x_{4},  x_{5}$ с вероятностями $P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4}, P_{5}$, соответственно. Тогда очевидно, что вероятность того, что значение случайной величины $X$ будет меньше $x_{1}$ равно 0: $F\left ( X \right )=P\left ( X <x_{1} \right )=0$, а вероятность того, что $X$ будет меньше $x_{2}$, равна $P_{1}$: $F\left ( X \right )=P\left ( X <x_{2} \right )=P_{1}$. Вероятность, что случайная величина $X$ будет меньше $x_{3}$ будет равна $F\left ( X \right )=P\left ( X <x_{3} \right )=P_{1}+P_{2}$, так как $P_{1}$ - это вероятность варианты $x_{1}$, а $P_{2}$ - вероятность варианты $x_{2}$. Случайная величина принимает одно значение из двух $x_{1}$ либо $P_{2}$, потому $F\left ( X \right 
)=P\left ( X <x_{3} \right )=P_{1}+P_{2}$. Но тогда, рассуждая аналогично, получаем:

\[ F\left ( X \right )=P\left ( X <x_{4} \right )=P_{1}+P_{2}+P_{3} \]
\[ F\left ( X \right )=P\left ( X <x_{5} \right )=P_{1}+P_{2}+P_{3}+P_{4} \]
\[ F\left ( X \right )=P\left ( X <x_{6} \right )=P_{1}+P_{2}+P_{3}+P_{4}+P_{5}=1 \]

Последнее выражение равно 1, так как все пять событий образуют полную группу. Здесь $x_{6}$ любое число, которое просто больше $x_{5}$, $x_{6}>x_{5}$. Сказанное можно изобразить графически ( рис.9.1 ), если по оси ординат откладывать вероятности $P_{i}$, по оси абсцисс – сами значения случайной величины.

 Дискретная функция распределения случайной величины

Рис. 9.1. Дискретная функция распределения случайной величины

Очевидно, что

\[  a_{1}=p_{1}; \ a_{2}-a_{1}=p_{2};\]
\[  a_{3}-a_{2}=p_{3}; \ a_{4}-a_{3}=p_{4};\]
\[  1-a_{4}=p_{5}.\]

Если бы наша случайная величина была бы непрерывной, то тогда распределенное $F(x)$ выглядела несколько бы иначе ( рис.9.2 ).

 Функция распределения для непрерывной случайной величины

Рис. 9.2. Функция распределения для непрерывной случайной величины

Свойства функции F(x)

Функции распределения для дискретной и непрерывной величин обладают рядом одинаковых очевидных свойств, в вытекающих из ее определения.

Свойство 1. Функция распределения есть не отрицательная функция, значение которой изменяются от 0 до 1:

\[0\leqslant  F(x) \leqslant 1\] ( 2)

Свойство 2. Вероятность попадания случайной величины в некоторый интервал $[a,b]$ равно разности значений функций распределений на концах этого интервала

\[ P(a \leqslant x <b)=F(b)-F(a) \] ( 3)

Следствие. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в не конкретный интервал равна нулю.

Свойство 3. Функция распределения случайной величиной есть не убы-вающая функция, т. е. при $\beta > \alpha$ имеем

\[F(\beta)-F(\alpha) \geqslant 0   \]
или
\[ F(\beta) \geqslant F(\alpha) \]

Свойство 4. Значение функции распределения на $-\infty$ равно нулю, и единице ? на $+\infty$, т.е.

\[ F(-\infty)=0; \ F(+\infty)=1 \]

Пример 1. Построить функцию распределения вариационного ряда $x_{i}$ $m_{i}$

Таблица возможных исходов
Xi 1 2 3 4 5 6
Mi 3 2 6 7 5 2

Решение. Найдем вероятности вариант. Если $N=25$, то имеем

\[ P_{1}=\frac 3 {25}; \  P_{2}=\frac 2 {25}; \  P_{3}=\frac 6 {25}; \  P_{4}=\frac 7 {25}; \  P_{5}=\frac 2 {25}; \ P_{6}=\frac 5 {25}.\]
Теперь построим функцию распределения математически (4)
\[ F(x)=\left\{\begin{array}{ccccccc}{0, \ \ \ \ \ \ x<1}\\{\frac 3 {25},1\leqslant x<2}\\{\frac 5 {25},2\leqslant x<3}\\{\frac {11} {25},3\leqslant x<4}\\{\frac {18} {25},4\leqslant x<5}\\{\frac {20} {25},5\leqslant x<6}\\{1,6\leqslant x}\\ \end{array}\right} \] ( 4)
и графически (рис.9.3 ).

 Функция распределения

Рис. 9.3. Функция распределения