Опубликован: 28.04.2012 | Доступ: свободный | Студентов: 2736 / 587 | Оценка: 3.86 / 2.57 | Длительность: 07:45:00
Специальности: Математик, Преподаватель
Лекция 3:

Формула Бернулли. Формула Пуассона. Наивероятнейшее число наступления событий. Локальная теорема Муавра-лапласса

Аннотация: Рассматриваются теорема Муавра-лапласса и формулы Бернулли и Пуассона.

Рассмотрим пример. Пусть Некто бросил монетку два раза. Считая каждый исход "орел" - "решка" равновероятным и независимым от предыдущего результата, получим следующие варианты результатов:

\[ \overline A \ \overline A, \overline A \ A, \ A \ \overline A, \ A \ A \]
.

где обозначено появление $A$ - "решки" и $\overline A$ - "орла". Понятно, что при этом $P(A)=\frac 1 2 = 1- P(\overline A)$, так как появление "орла" или "решки" события равновероятные. Для удобства введем обозначение $P(A)=p$ $P\overline A)=q$. Очевидно, что $p+q=1$.

Пусть теперь монету кидают 3 раза. Теперь возможны $2^3$ разных вариантов исходов:

\[ \overline A \ \overline A \ \overline A , \ \overline A \ \overline A \ A \ , \overline A \ A \ \overline A, \ A \ \overline A \ \overline A, \ \overline A \ A \ A, \ A \ \overline A \ A, \ A \ A \ \overline A , \ A \ A \ A \]

Можно убедиться самостоятельно, что, если монетку кидать 4 раза, то получится $2^4$ различных вероятных комбинаций.

Рассуждая далее, имеем, что в случае $n$ испытаний Некто получит одну из $2^n$ комбинаций исходов.

Так как испытания независимые, то, применяя теорему умножения вероятностей найдем вероятности каждого из проведенных испытаний (табл. 5.1 для $n=2$ ; табл. 5.2 для $n=3$ ).

Таблица 5.1. Вероятности четырех исходов, двух независимых испытаний
Исход $\overline A \ \overline A $ $\overline A \ A $ $A \ \overline A $ $ A \ A $
Вероятность $ qq=q^2 $ $ pq$ $ qp $ $ pp=p^2 $
Таблица 5.2. Вероятности восьми исходов трех независимых испытаний
Исход Вероятность Исход Вероятность Исход Вероятность Исход Вероятность
$\overline A \ \overline A \ \overline A $ $ qqq=q^3 $ $\overline A \ A \ \overline A $ $ qpq=pq^2 $ $\overline A \ \overline A \ A $ $ qqp=pq^2 $ $ A \ A \ A $ $ppp=p^3 $
$\overline A \ A \ A $ $qpp=qp^2 $ $A \ \overline A \ A $ $pqp=qp^2 $ $A \ A \ \overline A $ $ppq=qp^2 $ $A \ \overline A \ \overline A $ $pqq=pq^2 $

Проанализируем табл. 5.2 более подробно. Заметим, что не появление события А во всех трех испытаниях имеет вероятность $P\left (\overline A \ \overline A \ \overline A \right )=q^3$, соответствующую только одному единственному исходу $\overline A \ \overline A \ \overline A $. Тогда вероятность, появления события А один раз соответствует (см. табл. 3)

\[ P_{3}(1)=P\left (\overline A \overline A \ \overline A \right ) +  P\left (\overline A \ A \ \overline A \right ) + P\left (\overline A \ \overline A \ A \right ) =3pq^2 \]

Аналогично, вероятность появления 2-х раз А будет равна .

\[ P_{3}(2)=P\left (\overline A \ A \ \ A \right ) +  P\left (A \ \overline A \ A \right ) + P\left (A \ A \ \overline A \right ) =3p^2q \]

И, наконец, если событие А состоялось все три раза, то

\[ P_{3}(3)=P\left (A \ A \ A  ) =p^3. \]

Можно убедиться, что эти события образуют полную группу, т.е.

\[ P_{3}(0) + P_{3}(1) + P_{3}(2) + P_{3}(3) =q^3+3pq^2+3p^2q+p^3= (p+q)^3=1. \]

Если рассмотреть вероятность $P_{n}(m)$, вероятность появления собы-тия А m раз в n испытаниях, то, рассуждая так, как это было представлено ранее получим формулу

\[P_{m,n}=C_{n}^m p^mq^{n-m} \] ( 1)

которая известна как формула Бернулли.Эта формула определяет вероятность появления события А $m$ раз в $n$ испытаниях. В формулу входит коэффициент $C_{n}^m$, который читается как число сочетаний из $n$ исходов по $m$ раз. Более коротко число сочетаний из $n$ по $m$. Вычисляется по простой формуле: $C_{n}^m=\frac {n!} {m!(n-m)!} =\frac {1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n} {1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot m \cdot \left (1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot (n-m) \right ) } $

Пример 1. В ящике лежат 20 белых и 10 черных шара. 4 раза извлекали шар, причем после каждого раза взятый шар возвращался в ящик и все шары тщательно перемешивались. Найти вероятность того, что 2 раза из 4-х был извлечен белый шар.

Решение. Решим задачу двумя способами.

1 способ. Обозначим событие $A$ – "вытащили белый шар", $\overline A$ - "вытащили черный шар". Тогда рассмотрим все возможные комбинации появления шаров. Таких комбинаций будет $2^4$:

\[ A \ A \ A \ A; \ A \ A \ A \ \overline A; \ A \ A \overline A \ A; \ A \ \overline A \ A \ A; \ \overline A \ A \ A \ A; \ \overline A \ \overline A \ A \ A; \ A \ \overline A \ \overline A \ A;  \ A \ A \ \overline A \ \overline A; \ \\ \overline A \ A \ A \ \overline A; \ \overline A \ A \ \overline A \ A; \ A \ \overline A \ A \ \overline A; \overline A \ \overline A \ \overline A \ A; \ A \ \overline A \ \overline A \ \overline A; \ \overline A \ A \ \overline A \ \overline A; \ \overline A \ \overline A \ A \ \overline A; \ \overline A \ \overline A \ \overline A \ \overline A. \]

Нас интересуют только те исходы, в которых появляются по 2 раза белые и черные шары. Всего таких исходов 6. Вероятность вытащить белый шар $P(A)=\frac {20} {30}=\frac 2 3$ в каждом из испытаний, так как по условию задачи шарик после испытания возвращается в ящик. Аналогично вычисляем вероятность извлечения черного шарика $P(\overline A)=\frac {10} {30}=\frac 1 3$. Подсчитаем теперь искомую вероят-ность: $P(A_{2} \overline {A_{2}})=6 \cdot \frac 2 3 \cdot \frac 2 3 \cdot \frac 1 3 \cdot \frac 1 3 =\frac 8 {27}$,

где 6 - количество благоприятных исходов; $\frac 2 3 \cdot \frac 2 3$ - вероят-ность появления белого шара в любых 2-х испытаниях; $\frac 1 3 \cdot \frac 1 3$ - вероятность появления черного шара в любых 2-х испытаниях.

2 способ. Для решения воспользуемся формулой Бернулли (1):

\[P_{2,4}=C_{4}^2 p^2q^2=\frac {4!} {2! (4-2)!} \cdot \left ( \frac 2 3 \right )^2  \cdot \left ( \frac 1 3 \right )^2 = \frac {2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 2} {2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3}= \frac 8 {27}.\]

Как видим ответы совпадают, однако первый способ не всегда удобен в применении. Особенно, если речь идет о значительном количестве испытаний.

Пример 2. Вероятность попадания стрелка в цель 0,8. Стрелок делает 10 выстрелов. Найти вероятность, что цель будет поражена 8 раз.

Решение. Для решения задачи воспользуемся формулой Бернулли:

\[ P_{8,10}=C_{10}^8 p^8q^2=\frac {10!} {8! (10-8)!} \cdot (0,8)^8 (0,2)^2 = \frac {9 \cdot 10} 2 \cdot \frac {4^8} {5^8} \cdot \frac 1 {5^2} \approx 0,3.\]

Можно легко убедиться в справедливости следующих равенств:

\[P_{0,n}=q^n; \ P_{n,0} = p^n; \ P_{1,n}=n \cdot p \cdot q^{1-n}; \  P_{2,n}=\frac {n(n-1)} 2 p^2 q^{n-2}.\]

Все эти формулы являются частным случаем формулы (1).

При $n$ испытаниях некоторое событие, имеющее вероятность $p$ может появиться несколько раз, однако, если обозначить $m_{0}$ - наименьшее количество раз появление некоторого события при $n$ испытаниях, то получим

\[P_{m_{0},n}=C_{n}^{m_{0}} p^{m_{0}}q^{n-m_{0}} .\] ( 2)

Очевидно, что $ P_{m_{0},n} \geqslant P_{m,n}$ выполняется при $m_{0} \neq m$, т.е. $m_{0}$ - это гарантированное число появлений события при $n$ испытаниях. Иными словами, появление события большее количество раз или меньшее будет менее вероятным, чем $m_{0}$. Если $p \neq 0$ и $n \neq 0$, тогда можно записать

\[ np-q \leqslant m_{0} \leqslant np+p .\] ( 3)

где $m_{0}$ - наивероятнейшее число появления события А при $n$ испытаниях; $p$ - вероятность появления события А при одном испытании; $q=1-p$.

Если $np-q$ и $np+p$ не целые числа, то тогда они округляются до ближайшего целого, но так, чтобы интервал не увеличивался.