Формула Бернулли. Формула Пуассона. Наивероятнейшее число наступления событий. Локальная теорема Муавра-лапласса
Пример 3. В ящике лежат 100 отшлифованных поделочных камня и 80 не шлифован-ных. Из ящика извлекают 20 камней. Какое наивероятнейшее число шлифованных камней будет извлечено при этом.
Решение. Определим и - вероятности извлечения и шлифованного, и не шлифованного поделочного камня. Так как общее число камней в ящике 180, то эти вероятности просто подсчитать:
Тогда определим по формуле (3):
Округлим левую границу с избытком, а правую с недостатком получим, что Т.е. среди 20 извлеченных камней не меньше 11 будут шлифованными.
Часто на практике приходиться решать обратную задачу, когда известно количество , а нужно определить сколько раз необходимо провести испытания.
Пример 4. В ящике лежат 100 шлифованных поделочных камня и 80 не шлифованных. Мастеру необходимо 11 шлифованных камней. Сколько камней, не выбирая, ему надо взять, чтобы среди взятых было нужное количество шлифованных камней?
Решение. Эта задача обратная задаче, рассмотренной в примере 3. Теперь известно , нужно найти . Для этого выполним простейшее преобразо-вание неравенства (3): отнимем от всех его частей и , получим
Умножим последнее неравенство на (- 1) и разделим на , тогда (при умножении на -1 знаки неравенства меняются на противоположные):
( 4) |
Воспользуемся полученной формулой (4) для решения нашего примера.
откуда
или
Округляя до целых, получим, что мастеру надо достать 19 либо 20 камней, чтобы среди них гарантиро-ванно было 11 шлифованных.
Пример 5. Вероятность попадания стрелка в цель равна 0,8. Стрелок делает 20 выстре-лов. определить наивероятнейшее количество попаданий.
Решение. Для решения задачи воспользуемся формулой (3):
откуда
Следовательно, стрелок скорее всего попадет 16 раз.
Если число испытаний большое, , а вероятность появления события при каждом испытании мала, , то для отыскания вероятности что при испытаниях некоторое событие случится раз используют приближенную формулу Пуассона, которая является обобщением формулы Бернулли:
( 5) |
где
( 6) |
Формулу ( 5) часто называют локальной теоремой Муавра-Лапласса.
Здесь функция . Существуют специальные таблицы, позволяющие вычислить значение данной функции по ее аргументу. На практике вычисляют , а затем по таблицам определяют значение функции. Если аргумент получился отрицательным, то значение функции будет такое же, как и при положительном аргументе. Т.е. .
Если вероятность появления события мала ( ), то для отыскания того, что испытание состоится раз, можно воспользоваться формулой Пуассона:
( 7) |
где - среднее число появления событий.
Если вероятность появления события меняется от испытания к испытанию, но сами испытания независимы, то тогда используется производящая функция , представляющая собой произведение вероятностных биномов. Эта функция обладает интересным свойством, которое просто проведем здесь без доказательства. После перемножения всех биномов и приведения подобных при коэффициенты при степенях представляют собой вероятность того, что событие появится раз в испытаниях, т.е.
( 8) |
Пример 6. Связь с шестью дальними партиями была организована через радио посред-ством радиостанций. Каждый отряд в течение дня имеет возможность в любое время связаться с базой, где радиостанция работает круглосуточно. Если вероятность связи с каждым из отрядов 0,8, найти вероятность того, что в данный момент не менее четырех партий вышли на связь.
Решение. Для решения задачи воспользуемся производящей функцией. Определим па-раметры функции: . Построим функцию
Сумма всех коэффициентов равна 1, в чем можно убедиться самостоятельно. По условию задачи нам не-обходимо учесть коэффициенты при членах . Тогда искомая вероятность будет равна
Пример 7. Два специалиста сортируют алмазы, которые затем собирают по размерам. Вероятность ошибки первого 0,1, а второго - 0,3. Из отсортированных алмазов одного размера взяли 2. Най-ти вероятность того, что оба алмаза будут одного размера.
Решение. Для решения задачи воспользуемся производящей функцией. Определим па-раметры функции: для первого специалиста .
Построим функцию: . По условию задачи нам необходимо учесть коэффициент при , т.е. искомая вероятность будет равна .
Пример 8. Статистикой установлено, что из каждой 1000 родившихся детей в среднем рождается 485 девочек, а остальные - мальчики. В семье 5 детей. Найти вероятность того, что среди этих детей: 3 мальчика.
Решение. Для решения задачи воспользуемся локальной теоремой Муавра – Лапласа, для которой определим необходимые переменные: .
Воспользуемся формулами (5) и (6): . Из таблицы находим значение функции
Теперь полученные значения подставим в формулу (5), получим:
Теорему Бернулли часто используют тогда, когда необходимо оценить вероятность наибольшего отклонения появления событий от ее ожидаемого значения. Случайной величиной в этом случае является число появлений событий и независимых испытаниях. В этом случае теорема Бернулли записывается так:
( 9) |
Пример 9. Из 1000 изделий, изготовленных цехом, проверили 200 случайно отобранных изделий. Среди них оказалось 25 изделий с браком. Приняв долю бракованных изделий среди отобранных за вероятность изготовления бракованного изделия, оценить вероятность того, что во всей партии бракованных изделий окажется не более 10%.
Решение. Определим вероятность изготовления бракованного изделия: . Отклонение частости появлений бракованных изделий от вероятности по абсолютной величине равно Число испытаний 1000. Используем формулу (9) и находим искомую вероятность:
откуда - получаем ответ.