Опубликован: 28.04.2012 | Доступ: свободный | Студентов: 2740 / 588 | Оценка: 3.86 / 2.57 | Длительность: 07:45:00
Специальности: Математик, Преподаватель
Практическая работа 4:

Случайные величины. Законы распределения. Числовые характеристики случайных величин

< Лекция 4 || Практическая работа 4: 12 || Лекция 5 >
Аннотация: Перечисление основных формул и примеры решения задач по теме "Случайные величины".

Основные расчетные формулы

Частость:

Q_{i}=\frac {m_{i}} {n} ( 1)

Шаг разбиения интервала при $n \geqslant 50$:

h=\frac {x_{max}-x_{min}} {log_{2}n+1} ( 2)

Математическое ожидание:

M_{X}^*=\overline x=\frac 1 n \sum\limits_{i=1}^n (x_{i}-\overline x)} ( 3)

Дисперсия:

D_{X}^*=\sigma^2=\frac 1 n \sum\limits_{i=1}^n (x_{i}-\overline x)^2} ( 4)

Статистический начальный момент:

\alpha_{s}=\frac 1 n \sum\limits_{i=1}^n \overline {x_{i}^s} ( 5)

Статистический центральный момент:

\mu_{s}^*=\frac 1 n \sum\limits_{i=1}^n (x_{i}-\overline x)^s} ( 6)

Несмещенная оценка дисперсии:

m^2=\frac 1{n-1} \sum\limits_{i=1}^n (x_{i}-\overline x)^2} ( 7)

Статистический начальный момент для интервального статистического ряда:

\alpha_{s}^*=\frac 1{\sum\limits_{i=1}^k m_{i}} \sum\limits_{i=1}^k m_{i}\overline x_{i}^s ( 8)

Статистический центральный момент для интервального статистического ряда:

\mu_{s}^*=\frac 1{\sum\limits_{i=1}^k m_{i}} \sum\limits_{i=1}^k m_{i}( x_{i} -\overline x^)^s ( 9)

Практические примеры решения задач

Пример 1. Наблюдения показали, что каждый из 10 рабочих затрачивает на изготовление детали 0,11 час. Индивидуальные затраты времени у 15 рабочих другой смены составили 0,1 час. Определить среднее время, необходимое для изготовления одной детали, при котором за 1 час работы всеми рабочими изготовилось бы такое же количество деталей.

Решение. В приведенном примере "время на изготовление одной детали" примем за наблюдаемый признак, по которому проводилось усреднение по группам. Тогда для $m_{1}=10$ рабочих среднее по группе будет равно $\overline {x_{1}}=0,11$ час; а для $ m_{2}=15$ рабочих среднее по группе составит $\overline {x_{2}}=0,1$ час. Обозначим $\overline x$ - среднее время, необходимое для изготовления одной детали, если будут работать $m_{1}+m_{2}$ рабочих. Тогда количество деталей, которое изготовит первая группа рабочих за 1 час будет $\frac 1 {\overline {x_{1}}}$, а вторая группа $\frac 1 {\overline {x_{2}}}$. Очевидно, что по условию задачи должно выполнятся равенство:

\[ \frac 1 {\overline {x_{1}}} \cdot m_{1} + \frac 1 {\overline {x_{2}}} \cdot m_{2}=\frac 1 {\overline x} \cdot (m_{1}+m_{2}) \]
откуда находим неизвестное $\overline x$:
\[\overline x = \frac {m_{1}+m_{2}} {\frac 1 {\overline {x_{1}}} \cdot m_{1} + \frac 1 {\overline {x_{2}}} \cdot m_{2}}\approx \frac {11}{106}=0,1 (час)\]

Пример 2. Автомобиль 6 час двигался со скоростью $100 \frac {км} {час}$, а затем 1 час - $70 \frac {км} {час}$. При этом горючего было израсходовано пропорционально квадрату скорости. Найти среднюю рекомендованную скорость движения $\overline V$, двигаясь с которой автомобиль затратит за свою поездку такое же количества горючего.

Решение. Если количество горючего пропорционально квадрату скорости, то на первом участке, который автомобиль проехал со скоростью $V_{1}=100 \frac {км} {час}$ было израсходовано $C \cdot V_{1}^2 t_{1}$ (л) горючего. Тогда на втором участке израсходовано $ C \cdot V_{2}^2 t_{2}$ (л) горючего. Рассуждая аналогично, обозначив - искомую среднюю скорость, получим уравнение:

\[ C \cdot V_{1}^2 t_{1}+ C \cdot V_{2}^2 t_{2}= C \cdot V^2 \cdot (t_{1}+t_{2})\]
откуда, выполнив элементарные преобразования, получим:
\[ V = \sqrt {\frac { V_{1}^2 t_{1}+ V_{2}^2 t_{2}} { t_{1}+t_{2}}} \approx 96 \frac {км} {час}\]

Пример 3. Надувные лодки, выпускаемые двумя заводами, имеют следующий срок службы (до первого ремонта) в часах:

Время/лодки до 600 600-1200 1200-1800 1800-2400 2400-3000
Лодки первого завода 12 23 28 27 10
Лодки второго завода 8 26 28 24 14

Определить: чья продукция лучше?

Решение. В этой задаче необходимо сравнить среднее по группам. Для первой группы:

\[ \tau_{1}n_{1}+\tau_{2}n_{2}+\tau_{3}n_{3}+\tau_{4}n_{4}+\tau_{5}n_{5}=\overline {\tau}( n_{1}+ n_{2}+ n_{3}+ n_{4}+ n_{5})\]
где $\tau_{i}$ берется для одного из концов интервала, например, правого. Тогда:
\[ \overline {\tau_{1}}=\frac {\tau_{1}n_{1}+\tau_{2}n_{2}+\tau_{3}n_{3}+\tau_{4}n_{4}+\tau_{5}n_{5}} { n_{1}+ n_{2}+ n_{3}+ n_{4}+ n_{5}}=\frac {174600} {100} = 1746 (час)\]
Для второй группы, рассуждая аналогично, получим:
\[ \overline {\tau_{2}}=\frac {\tau_{1}m_{1}+\tau_{2}m_{2}+\tau_{3}m_{3}+\tau_{4}m_{4}+\tau_{5}m_{5}} { m_{1}+ m_{2}+ m_{3}+ m_{4}+ m_{5}}=\frac {186000} {100} = 1860 (час)\]
Сравнивая и делаем вывод, что продукция второго завода лучше.

Пример 4. На участке дороги есть 4 населенных пункта $A_{1},A_{2},A_{3},A_{4}$, в которых проживает 50, 30, 40 и 10 жителей, соответственно. Расстояние от города $A_{0}$ до указанных населенных пунктов составляет 2, 3, 5 и 8 км. Для удобства жителей организуют автобусный маршрут до города. Определить, в каком из населенных пунктов следует сделать автобусную остановку, чтобы общий путь пассажиров до автобусной остановки был бы наименьшим ?

Решение. 1-й способ. Автобусную остановку следует располагать в том пункте, до которого среднее расстояние было бы наименьшим. Такое расстояние обязательно должно обладать следующим свойством:

\[ \sum расстояние_{i} \cdot количество \ пассажиров_{i} =среднее \ расстояние \cdot общее \ количество \ пассажиров\]
следовательно,
\[ 2 \cdot 50 +3 \cdot 30 +5 \cdot 40 + 8\cdot 10=\overline X \cdot (50+30+40+10)\]
откуда получим
\[ \overline X=\frac {2 \cdot 50 +3 \cdot 30 +5 \cdot 40 + 8\cdot 10} {50+30+40+10} \approx 3,5 (км)\]
Следовательно конечную остановку следует делать в пункте $A_{2}$

2-й способ. Относительно остановки оба потока пассажиров (слева и справа) должны быть одинаковыми, т.е. необходимо определить $Me$ ряда. Очевидно, что

\[ Me =\frac {50+30+40+10} 2 = 65\]
т.е. с каждой стороны к остановке от $A_{1}$ и от $A_{4}$ должны переместиться 65 пассажиров. Этим свойством обладает поселок $A_{2}$, т.е. там и следует делать остановку. Заметим, что решение обоими способами дает одинаковый результат.

< Лекция 4 || Практическая работа 4: 12 || Лекция 5 >