Опубликован: 28.07.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 2030 / 506 | Оценка: 4.53 / 4.26 | Длительность: 25:10:00
ISBN: 978-5-9556-0096-3
Специальности: Программист
Лекция 6:

Параллельные методы умножения матрицы на вектор

6.6. Умножение матрицы на вектор при разделении данных по столбцам

Рассмотрим теперь другой подход к параллельному умножению матрицы на вектор, основанный на разделении исходной матрицы на непрерывные наборы (вертикальные полосы) столбцов.

6.6.1. Определение подзадач и выделение информационных зависимостей

При таком способе разделения данных в качестве базовой подзадачи может быть выбрана операция умножения столбца матрицы А на один из элементов вектора b. Для организации вычислений в этом случае каждая базовая подзадача i, 0<=i<n, должна содержать i -й столбец матрицы А и i -е элементы bi и ci векторов b и с.

Параллельный алгоритм умножения матрицы на вектор начинается с того, что каждая базовая задача i выполняет умножение своего столбца матрицы А на элемент bi, в итоге в каждой подзадаче получается вектор c'(i) промежуточных результатов. Далее для получения элементов результирующего вектора с подзадачи должны обменяться своими промежуточными данными между собой (элемент j, 0<=j<n, частичного результата c'(i) подзадачи i, 0<=i<n, должен быть передан подзадаче j ). Данная обобщенная передача данных ( all-to-all communication или total exchange ) является наиболее общей коммуникационной процедурой и может быть реализована при помощи функции MPI_Alltoall библиотеки MPI. После выполнения передачи данных каждая базовая подзадача i, 0<=i<n, будет содержать n частичных значений c'i(j), 0<=j<n, сложением которых и определяется элемент ci вектора результата с (см. рис. 6.5).

Организация вычислений при выполнении параллельного алгоритма умножения матрицы на вектор с использованием разбиения матрицы по столбцам

Рис. 6.5. Организация вычислений при выполнении параллельного алгоритма умножения матрицы на вектор с использованием разбиения матрицы по столбцам
6.6.2. Масштабирование и распределение подзадач по процессорам

Выделенные базовые подзадачи характеризуются одинаковой вычислительной трудоемкостью и равным объемом передаваемых данных. В случае когда количество столбцов матрицы превышает число процессоров, базовые подзадачи можно укрупнить, объединив в рамках одной подзадачи несколько соседних столбцов (в этом случае исходная матрица A разбивается на ряд вертикальных полос). При соблюдении равенства размера полос такой способ агрегации вычислений обеспечивает равномерность распределения вычислительной нагрузки по процессорам, составляющим многопроцессорную вычислительную систему.

Как и в предыдущем алгоритме, распределение подзадач между процессорами вычислительной системы может быть выполнено произвольным образом.

6.6.3. Анализ эффективности

Пусть, как и ранее, матрица А является квадратной, то есть m=n. На первом этапе вычислений каждый процессор умножает принадлежащие ему столбцы матрицы А на элементы вектора b, после умножения полученные значения суммируются для каждой строки матрицы А в отдельности

c'_s(i)= \sum_{j=j_0}^{j_{l-1}} a_{sj} b_j, \; 0 \le s < n , ( 6.9)
( j0 и jl-1 есть начальный и конечный индексы столбцов базовой подзадачи i, 0<=i<n). Поскольку размеры полосы матрицы А и блока вектора b равны n/p, то трудоемкость таких вычислений может оцениваться как T'= n2/p операций. После обмена данными между подзадачами на втором этапе вычислений каждый процессор суммирует полученные значения для своего блока результирующего вектора c. Количество суммируемых значений для каждого элемента ci вектора c совпадает с числом процессоров p, размер блока вектора c на одном процессоре равен n/p, и, тем самым, число выполняемых операций для второго этапа оказывается равным T''=n. С учетом полученных соотношений показатели ускорения и эффективности параллельного алгоритма могут быть выражены следующим образом:
S_p = \frac{n^2}{n^2/p} = p, \quad E_p=\frac{n^2}{p \cdot (n^2/p)} = 1. ( 6.10)

Теперь рассмотрим более точные соотношения для оценки времени выполнения параллельного алгоритма. С учетом ранее проведенных рассуждений время выполнения вычислительных операций алгоритма может быть оценено при помощи выражения

T_p(cacl)=[n \cdot (2 \cdot \lceil n/p \rceil - 1) + n] \cdot \tau ( 6.11)
(здесь, как и ранее, \tau есть время выполнения одной элементарной скалярной операции).

Для выполнения операции обобщенной передачи данных рассмотрим два возможных способа реализации (см. также "Оценка коммуникационной трудоемкости параллельных алгоритмов" ). Первый способ обеспечивается алгоритмом, согласно которому каждый процессор последовательно передает свои данные всем остальным процессорам вычислительном системы. Предположим, что процессоры могут одновременно отправлять и принимать сообщения и между любой парой процессоров имеется прямая линия связи, тогда оценка трудоемкости (время исполнения) такого алгоритма обобщенной передачи данных может быть определена как

T_p^1(comm) = (p-1)(\alpha +w \lceil {n/p}\rceil / \beta). ( 6.12)
(напомним, что \alpha – латентность сети передачи данных, \beta – пропускная способность сети, w – размер элемента данных в байтах).

Второй способ выполнения операции обмена данными рассмотрен в "Оценка коммуникационной трудоемкости параллельных алгоритмов" , когда топология вычислительной сети может быть представлена в виде гиперкуба. Как было показано, выполнение такого алгоритма может быть осуществлено за \lceil log_2p\rceil шагов, на каждом из которых каждый процессор передает и получает сообщение из n/2 элементов. Как результат, время операции передачи данных при таком подходе составляет величину:

T_p^2(comm)=\lceil \log_2 p \rceil (\alpha + w(n/2)/ \beta) ( 6.13)

С учетом (6.11) – (6.13) общее время выполнения параллельного алгоритма умножения матрицы на вектор при разбиении данных по столбцам выражается следующими соотношениями.

  • Для первого способа выполнения операции передачи данных
    T_p^1=[n\cdot(2\cdot\lceil n/p\rceil -1)+n]\cdot\tau+(p-1)(\alpha+w\lceil n/p \rceil / \beta). ( 6.14)
  • Для второго способа выполнения операции передачи данных
    T_p^2=[n\cdot(2\cdot\lceil n/p\rceil -1)+n]\cdot\tau+ \lceil \log_2 p \rceil (\alpha+w(n/2) / \beta). ( 6.15)
6.6.4. Результаты вычислительных экспериментов

Вычислительные эксперименты для оценки эффективности параллельного алгоритма умножения матрицы на вектор при разбиении данных по столбцам проводились при условиях, указанных в п. 6.5.5. Результаты вычислительных экспериментов приведены в таблице 6.3.

Таблица 6.3. Результаты вычислительных экспериментов по исследованию параллельного алгоритма умножения матрицы на вектор, основанного на разбиении матрицы по столбцам
Размер матрицы Последовательный алгоритм Параллельный алгоритм
2 процессора 4 процессора 8 процессоров
Время Ускорение Время Ускорение Время Ускорение
1000 0,0041 0,0022 1,8352 0,0015 3,1538 0,0008 4,9409
2000 0,016 0,0085 1,8799 0,0046 3,4246 0,0029 5,4682
3000 0,031 0,019 1,6315 0,0095 3,2413 0,0055 5,5456
4000 0,062 0,0331 1,8679 0,0168 3,6714 0,0090 6,8599
5000 0,11 0,0518 2,1228 0,0265 4,1361 0,0136 8,0580

Сравнение экспериментального времени T_p^* выполнения эксперимента и времени Tp, вычисленного по соотношениям (6.14), (6.15), представлено в таблице 6.4 и на рис. 6.6 и 6.7. Теоретическое время T_p^1 вычисляется согласно (6.14), а теоретическое время T_p^2 – в соответствии с (6.15).

График зависимости теоретического и экспериментального времени выполнения параллельного алгоритма на четырех процессорах от объема исходных данных (ленточное разбиение матрицы по столбцам)

Рис. 6.6. График зависимости теоретического и экспериментального времени выполнения параллельного алгоритма на четырех процессорах от объема исходных данных (ленточное разбиение матрицы по столбцам)
Таблица 6.4. Сравнение экспериментального и теоретического времени выполнения параллельного алгоритма умножения матрицы на вектор, основанного на разбиении матрицы по столбцам
Размер матрицы 2 процессора 4 процессора 8 процессоров
T_p^* T_p^1 T_p^2 T_p^* T_p^1 T_p^2 T_p^* T_p^1 T_p^2
1000 0,0022 0,0021 0,0021 0,0013 0,0013 0,0014 0,0008 0,0011 0,0015
2000 0,0085 0,0082 0,0080 0,0046 0,0044 0,0044 0,0029 0,0027 0,0031
3000 0,019 0,0177 0,0177 0,0095 0,0094 0,0094 0,0055 0,0054 0,0056
4000 0,0331 0,0313 0,0313 0,0168 0,0163 0,0162 0,0090 0,0090 0,0091
5000 0,0518 0,0487 0,0487 0,0265 0,0251 0,0251 0,0136 0,0135 0,0136
Зависимость ускорения от количества процессоров при выполнении параллельного алгоритма умножения матрицы на вектор (ленточное разбиение матрицы по столбцам) для разных размеров матриц

Рис. 6.7. Зависимость ускорения от количества процессоров при выполнении параллельного алгоритма умножения матрицы на вектор (ленточное разбиение матрицы по столбцам) для разных размеров матриц