НОУ ИНТУИТ | Классические и квантовые вычисления. Лекция 1: Решения задач

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова

Опубликован: 15.03.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 613 / 26 | Оценка: 5.00 / 4.50 | Длительность: 19:30:00

Тема: Алгоритмы и дискретные структуры

Специальности: Программист

|

Вам нравится? Нравится 11 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Из раздела 9

9.1. Пусть $\rho=\sum_{k}^{}p_k\ket{\xi_k}\bra{\xi_k}$ . Проверим условия 1)—3) для $\rho$ .

Условие 1): очевидно.

Условие 2): $\langle\eta|\,\rho\,|\eta\rangle =\sum_{k}^{}p_k\langle \eta|\xi_k\rangle \langle \xi_k|\eta\rangle =\sum_{k}^{}p_k\left|\langle \eta|\xi_k\rangle \right|^2\geq0$ .

Условие 3): $\Tr\rho=\sum_{k}p_k\langle\xi_k|\xi_k\rangle=\sum_{k}p_k=1$ .

И наоборот, если $\rho$ удовлетворяет 1)—3), то $\rho=\sum_{k}^{}\lambda_k\ket{\xi_k}\bra{\xi_k}$ , где $\lambda_k$ — собственные числа, а $\{\ket{\xi_k}\}$ — ортонормированный базис из собственных векторов.

9.2 Вектору $\ket\psi\in\calN\otimes\calF$ можно естественным образом сопоставить оператор $\Psi\colon\calF^*\to\calN$ . Пусть p_j — ненулевые собственные числа оператора

$\rho=\Psi\Psi^\dagger=\Tr_\calF(\ket\psi\bra\psi)\in\LL(\calN)$

(каждое собственное число учитывается столько раз, какова его кратность). Поскольку $\rho$ является матрицей плотности, $0<p_j\le 1$ . Положим $\lambda_j=\sqrt{p_j}$ , а в качестве множества $\{\ket{\xi_j}\}$ возьмем любую ортонормированную систему собственных векторов, соответствующих собственным числам p_j

.

Оператор $\Psi$ можно представить в виде

$\Psi=\sum_{j}\lambda_j\ket{\xi_j}\bra{\nu_j},$

где $\ket{\nu_j}=\lambda_j^{-1}\Psi^\dagger\ket{\xi_j}\in\calF^*$ . Соответственно, $\bra{\nu_j}\in\calF^{**}=\calF$ . Переобозначив $\bra{\nu_j}$ через $\ket{\eta_j}$ , получаем искомое разложение Шмидта.

9.3 Условие $\Tr_{\calF}(\ket{\psi_1}\bra{\psi_1})= \Tr_{\calF}(\ket{\psi_2}\bra{\psi_2})$ , как следует из решения предыдущей задачи, позволяет выбрать разложения Шмидта для $\ket{\psi_1}$ и $\ket{\psi_2}$ с одинаковыми $\lambda_j$ и $\ket{\xi_j}$ . Запишем эти разложения

$\ket{\psi_k}=\sum_{j}^{}\lambda_j\ket{\xi_j} \otimes\ket{\eta_j^{(k)}},\qquad k=1,\,2.$

Поскольку $\{\ket{\eta_j^{(k)}}\}$ — ортонормированные семейства, существует унитарный оператор

, такой что $U\ket{\eta_{j}^{(1)}}=\ket{\eta_j^{(2)}}$ для всех

. Тогда

$(I_\calN\otimes U)\ket{\psi_1}= \sum_{j}^{}\lambda_j \ket{\xi_j}\otimes U\ket{\eta_j^{(1)}}= \sum_{j}^{}\lambda_j \ket{\xi_j}\otimes \ket{\eta_j^{(2)}}= \ket{\psi_2}.$

Дальше >>

Авторизоваться

Классические и квантовые вычисления

Решения задач

Из раздела 9

Вопросы и ответы