Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского
Опубликован: 26.04.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 1385 / 107 | Оценка: 3.69 / 3.54 | Длительность: 14:45:00
ISBN: 978-5-9556-0072-7
Специальности: Математик
Лекция 6:

Об устойчивости баланса спроса и предложения

< Лекция 5 || Лекция 6: 1234 || Лекция 7 >

Теорема 1.3. Пусть выполняются условия

0<\lambda\le 1/2(1+\sqrt{5}), ( 5.11)
p_\text{eq}<p_{t-1}<p_{\max}, ( 5.12)
где \lambda из (5.2). Тогда закупка спекулянтом в момент t партии товара объемом \Delta из (5.6) с целью продажи этой партии в момент t+1 по цене pt+1 обеспечивает выполнение условий (5.9), если значение коэффициента \gamma>0 лежит в интервале
\Gamma_1<\gamma=\gamma(t)<\Gamma_2, ( 5.13)
где
\Gamma_1=\theta(\lambda-1)/\lambda,\quad \Gamma_2=\theta \lambda^2/(\lambda+1)^2, ( 5.14)
\theta=\theta(t)=1-D(p_{t-1})/S(p_{t-1}). ( 5.15)

Доказательство 1. Для выполнения входящего в (5.9) неравенства pt<peq, где, согласно (4.6) и (5.2),

p_\text{eq}=(p_{\max}+\lambda c)/(1+\lambda), ( 5.16)
необходимо и достаточно выполнения условия D(pt)>D(peq). Последнее условие в сочетании с равенствами (4.5) и (5.7) ведет к соотношениям
(1-\gamma)S(p_{t-1})=D(p_t)>D(p_\text{eq})=S(p_\text{eq}).
Отсюда следует неравенство
S(p_{t-1})-S(p_\text{eq})>\gamma S(p_{t-1}),
приводимое, с учетом (4.3), к виду
B(p_{t-1}-p_\text{eq})>\gamma S(p_{t-1}). ( 5.17)
Поскольку, согласно (4.1), (4.3), (5.15) и (5.16),
\begin{aligned}
&p_{t-1}-p_\text{eq}=[\lambda (p_{t-1}-c)+(p_{\max}-p_{t-1})]/(1+\lambda)=\\
&\qquad\qquad=[S(p_{t-1})-D(p_{t-1})]/(A+B)=\theta S(p_{t-1})/(A+B),\\
\end{aligned}
то требование (5.17) представимо в виде неравенства
\gamma<\theta \lambda /(1+\lambda), ( 5.18)
которое заведомо выполняется при \gamma<\Gamma_2 ; см. (5.13), (5.14). При этом, согласно (5.12) и (5.15),
0<\theta<1, ( 5.19)
поскольку D(pt-1)<S(pt-1) при peq<pt-1.

2. Из (4.1) и (5.7) вытекает, что при pt-1>peq

\begin{aligned}
&p_t=[Ap_{\max}-(1-\gamma)S(p_{t-1})]/A=\\
&=[D(p_{t-1})-S(p_{t-1})+\gamma S(p_{t-1})]/A+p_{t-1}=\\
&=\lambda (p_{t-1}-c)(\gamma-\theta)+p_{t-1}.\\
\end{aligned} ( 5.20)
Отсюда следует, что для выполнения входящего в (5.9) неравенства pt>pmin=c должно выполняться условие
(p_{t-1}-c)(\lambda (\gamma-\theta)+1)>0.
Это условие заведомо выполняется, если коэффициент \gamma удовлетворяет левому неравенству из (5.13), поскольку pt-1>c и, согласно (5.19), \theta(\lambda-1)/\lambda>(\lambda\theta-1)/\lambda.

3.Условие pt+1>peq, входящее в (5.9), равносильно отношению D(pt+1)<S(peq), которое, учитывая (5.8), приводимо к виду:

S(p_t)+\gamma S(p_{t-1})<S(p_\text{eq})
или
\gamma S(p_{t-1})<B(p_\text{eq}-p_t). ( 5.21)

Из (4.2), (4.6) и (5.20) следует, что

p_\text{eq}-p_t=B[S(p_{t-1})-D(p_{t-1})-D(p_{t-1})]/A(A+B)-\gamma S(p_{t-1})/A.
Подставляя правую часть этого равенства в (5.21), выводим, что pt+1>peq, если
\gamma (\lambda +1)^2S(p_{t-1})<\lambda^2[S(p_{t-1})-D(p_{t-1})].
Последнее условие эквивалентно требованию \gamma<\Gamma_2.

4. Условие pt+1<pt-1, входящее в (5.9) и обеспечивающее "скрутку" паутины, равносильно неравенству D(pt+1)>D(pt-1), которое, согласно (5.8), можно записать в виде:

S(p_t)+\gamma S(p_{t-1})>D(p_{t-1}). ( 5.22)
Из (4.2), (5.2) и (5.20) выводим, что
\begin{aligned}
&S(p_t)=\lambda Ap_{\max}-\lambda (1-\gamma)S(p_{t-1})-Bc=\\
&=\lambda D(p_{t-1})+\lambda \gamma S(p_{t-1})+(1-\lambda)S(p_{t-1}).\\
\end{aligned}
Подставляя правую часть полученного выражения в (5.22), выводим неравенство
(\lambda-1)[S(p_{t-1})-D(p_{t-1})]<\gamma (\lambda+1)S(p_{t-1}),
для справедливости которого достаточно выполнения условия
\gamma>\theta(\lambda -1)/(\lambda+1).
Последнее условие заведомо выполняется при \gamma>\Gamma_1, где \Gamma_1 из (5.14). В заключение отметим, что интервал (5.13) не пуст (т.е. \Gamma_1<\Gamma_2 при значениях \lambda из диапазона (5.11).

< Лекция 5 || Лекция 6: 1234 || Лекция 7 >
Михаил Агапитов
Михаил Агапитов

Не могу найти  требования по оформлению выпускной контрольной работы по курсу профессиональной переподготовки "Менеджмент предприятия"

Подобед Александр
Подобед Александр

Я нажал кнопку "начать курс" и почти его уже закончил, но для получения диплома на бумаге, нужно его же оплатить? Как оплатить?