Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского
Опубликован: 26.04.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 1410 / 126 | Оценка: 3.69 / 3.54 | Длительность: 14:45:00
ISBN: 978-5-9556-0072-7
Специальности: Математик
Лекция 2:

Математическая модель задачи выбора решений

< Лекция 1 || Лекция 2: 1234 || Лекция 3 >

Модель операции в нормальной форме

Непосредственное использование отношений R1 и R2, введенных выше для описания интересов сторон P1 и P2, предполагает задание всех пар (z1,z2), составляющих графики этих отношений. В случае, когда множество исходов Z содержит значительное число элементов, явное перечисление всех таких пар может оказаться слишком громоздким. Зачастую эту трудность можно преодолеть, вводя значительно более компактное описание отношений R1 и R2 с помощью вещественных функций H1(z) и H2(z), определенных на множестве исходов Z и неубывающих соответственно по предпочтениям R1 и R2.

Определение 1.1. Функция Hi(z), определенная на множестве исходов Z, называется неубывающей по нестрогому предпочтению Ri, если

(\forall z_1, z_2\in Z) z_1 R_i z_2\rightarrow H_i(z_1)\ge H_i(z_2) ( 1.7)
При этом, согласно (1.3) и (1.7),
(\forall z_1,z_2\in Z) z_1 I_i z_2\leftrightarrow H_i(z_1)= H_i(z_2). ( 1.8)

В случае, когда выполняются также условия

(\forall z_1, z_2\in Z) z_1 R_i z_2\leftrightarrow H_i(z_1)\ge H_i(z_2) ( 1.8)
говорят, что эта функция представляет отношение Ri. В последнем случае соответствующую функцию Hi(z) называют функцией ценности или функцией полезности исхода z\in Z.

Теорема 1.1. Функция Hi(z), неубывающая по полному квазипорядку Ri и удовлетворяющая условиям

(\forall z_1,z_2\in Z) z_1 T_1 z_2\rightarrow H_i(z_1)>H_i(z_2), ( 1.9)
представляет этот квазипорядок.

Доказательство. Свойство неубывания, включенное в условия теоремы, гарантирует справедливость утверждения (1.7). Теперь допустим, что условия (1.8) не выполняются. Т.е. во множестве Z\times Z существует хотя бы одна пара (z1,z2), для которой справедливо неравенство

H_i(z_1)\ge H_i(z_2) ( 1.10)
но не имеет места отношение z1Riz2.

В силу предположенной полноты квазипорядка Ri, это означает справедливость обратного отношения z2Riz1, которое, в соответствии с (1.2), эквивалентно условиям

(z_2 T_i z_1)\cup(z_2 I_i z_1) ( 1.11)

Согласно (1.3), истинность правого отношения в (1.11) противоречит принятому допущению о несправедливости z1Riz2. Допущение справедливости левого отношения в (1.11) ведет, согласно (1.9), к противоречию с (1.10). Таким образом, условия (1.8) необходимо выполняются для полного квазипорядка Ri.

Теорема 1.2. Любой полный квазипорядок Ri на конечном множестве Z может быть представлен неотрицательной вещественной функцией Hi(z), удовлетворяющей условиям (1.8).

Доказательство проведем путем построения функции Hi(z), z\in Z, удовлетворяющей указанным условиям. Пусть множество исходов Z0=Z содержит N элементов. Выделим из множества Z0 подмножество Z1 всех исходов, удовлетворяющих условию:

(\forall z'\in Z^{1})(\forall z''\in Z_0) z' R_i z''
Заметим, что все исходы из множества Z1 являются эквивалентными и каждый из них строго превосходит любой исход из множества Z_1=Z_0\backslash Z^1. Положим Hi(z)=1, z\in Z^1.

Теперь построим подмножество Z2 множества Z1, удовлетворяющее условию:

(\forall z'\in Z^2)(\forall z''\in Z_1) z' R_i z''
При этом все исходы из множества Z2 являются эквивалентными, и каждый из них строго превосходит любой исход из множества Z_2=Z_1\backslash Z^2. Кроме того,
(\forall z'\in Z^1)(\forall z''\in Z_2)\quad z' T_i z''
Выберем число \delta, {0}<\delta\le N^{-1}, и положим H_i(z)=1-\delta, z\in Z^2.

Следуя описанной схеме, построим подмножество Zk+1 множества Zk, k\ge 1, удовлетворяющее условию:

(\forall z'\in Z^{k+1})(\forall z''\in Z_{k}) z' R_i z''
При этом все исходы из множества Zk+1 являются эквивалентными и каждый из них строго превосходит любой исход из множества Z_{k+1}=Z_k\backslash Z^{k+1}. Кроме того,
\left(\forall z'\in\bigcup_{l=1}^{k} Z^{l}\right)(\forall z''\in Z^{k+1})\quad z' T_{i}z''
Положим H_i(z)=1-k\delta, z\in Z^{k+1}. Тогда
\left(\forall z'\in \bigcup^k_{l=1}Z^l\right) \left(\forall z''\in
Z^{k+1}\right)\quad H_i(z')>H_i(z'').

Описанный процесс построения множеств завершается при выполнении условия Z_{k+1}=\oslash. При этом

Z=\bigcup^k_{l=1}Z^l
и функция Hi(z) оказывается определенной для всех элементов z\in Z, причем, в силу способа построения, функция Hi(z) является неубывающей по предпочтению Ri. Таким образом, любой полный квазипорядок на конечном множестве исходов, действительно, представим неотрицательной вещественной функцией.

Введение функций полезности H1(z) и H2(z) (которые заведомо существуют в задачах с конечными множествами исходов, а также во многих задачах, содержащих бесконечное число исходов), фактически позволяет сторонам P1 и P2 иметь количественные оценки степени достижимости их целей при завершении операции в некотором исходе z\in Z. Указанные функции в сочетании с зависимостью (1.1) позволяют ввести критерии эффективности

M_i(x,y,u)=H_i(f(x,y,u)),\quad i=1,2, ( 1.12)
непосредственно связывающие стратегии x\in X и y\in Y, выбираемые сторонами P1 и P2, и реализующиеся в ходе операции состояния природы u\in U с теми уровнями полезности, которые при этом достигаются.

Определение 1.2. Построенная модель, где о стратегиях x, y сторон P1, P2 и о состояниях природы u предполагается лишь то, что они являются элементами заданных множеств X, Y и U, на прямом произведении которых X\times Y\times U заданы критерии эффективности (1.12}, называется моделью операции в нормальной форме

Как следует из определения, модель операции в нормальной форме, представляющая собой совокупность вида

M_i(x,y,u),\quad x\in X,\, y\in Y, \, u\in U,\, i=1,2, ( 1.13)
не предполагает явного описания процесса реализации стратегий и необходимых для этого ресурсов. Ее основное назначение, как уже отмечалось, состоит в том, чтобы связать выбранные сторонами конкретные стратегии и реализовавшееся состояние природы (неконтролируемое сторонами) с достигаемым каждой стороной уровнем полезности. Такое описание является достаточным для изучения одной из важнейших проблем теории принятия решений в условиях конфликта и неопределенности - проблемы характеризации эффективного поведения сторон в конфликте.

С одной стороны, введение критериев эффективности позволяет утверждать, что при заданной стратегии второй стороны и известном состоянии природы первая сторона заинтересована в выборе такой стратегии, которая максимизирует ее критерий, т.е. решает задачу

M_{1}(x,y,u) \xrightarrow[x\in X]{} \max. ( 1.14)
Однако, сторона P_1, как уже говорилось, не контролирует выбор значений y, u и, более того, в общем случае, может не знать эти значения в момент выбора своей стратегии.

С другой стороны, сторона P_2, выбирая свою стратегию y\in Y, стремится максимизировать свой критерий эффективности, т.е. решает задачу

M_2(x,y,u) \xrightarrow[y\in Y]{} \max. ( 1.15)
При этом очевидно, что задачи (1.14) и (1.15), в общем случае, являются существенно различными. Поэтому необходимы подходы, позволяющие предложить сторонам (или той стороне, которую представляет исследователь операции) рекомендации, обеспечивающие эффективное поведение в условиях несовпадения интересов. Рассмотрение таких подходов (применительно к моделям вида (1.13), характеризующим экономические взаимодействия) составляет основное содержание настоящей книги.

< Лекция 1 || Лекция 2: 1234 || Лекция 3 >
Михаил Агапитов
Михаил Агапитов

Не могу найти  требования по оформлению выпускной контрольной работы по курсу профессиональной переподготовки "Менеджмент предприятия"

Подобед Александр
Подобед Александр

Я нажал кнопку "начать курс" и почти его уже закончил, но для получения диплома на бумаге, нужно его же оплатить? Как оплатить?