Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Опубликован: 09.09.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 5292 / 587 | Оценка: 4.35 / 3.78 | Длительность: 13:51:00
ISBN: 978-5-9556-0038-3
Специальности: Математик
Лекция 4:

Кольцо многочленов от одной переменной

< Лекция 3 || Лекция 4: 1234 || Лекция 5 >

Упражнение 1.13.34. Наибольший общий делитель d(x) многочленов f(x) = 3x5-4x4+x3-3x2+4x-1 и g(x) = 3x5+5x4+x3-x2-3x+1 представить в виде d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x), где u(x), v(x) - многочлены степеней, меньших чем степени многочленов g(x) и f(x) соответственно.

Решение. Сначала с помощью алгоритма Евклида находим d(x)=3x3+2x2+2x-1, при этом

\begin{align*}
f_1(x) &= \frac{f(x)}{d(x)} = x^2-2x+1,\\
g_1(x) &= \frac{g(x)}{d(x)} = x^2+x-1.
\end{align*}

Ищем многочлены u(x) и v(x) такие, что 1=f1(x)u(x)+g1(x)v(x).

Так как степени многочленов u(x) и v(x) должны быть меньше двух, то u(x)=ax+b, v(x)=cx+d, где a,b,c,d\inR. Приравнивая в коэффициенты при одинаковых степенях переменной x, получаем систему линейных уравнений для a, b, c, d. Решая эту систему, получаем, что a=3, b=5, c=-3, d=4. Итак, d(x)=3x3+2x2+2x-1=f(x)(3x+5)+g(x)(-3x+4).

Определение 1.13.35. Пусть K - поле, f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0\in K[x],\quad a_n,...,a_0\in K. Если c\in K, то элемент f(c)=a_nc^n+a_{n-1}c^{n-1}+...+a_1c+a_0\in K назовем значением многочлена f(x) при x=c. Таким образом, получаем отображения: f: K\to K,\quad c\mapsto f(c) (полиномиальная функция, определяемая многочленом f(x) ); K[x]\to K,\quad f(x)\mapsto f(c) (ясно, что если f(x)=g(x) в K[x], то f(c)=g(c) для всех c\in K ).

Лемма 1.13.36. Если в K[x] \varphi(x)=f(x)+g(x),\quad \psi(x)=f(x)g(x) и c\in K, то \varphi(c)=f(c)+g(c),\quad \psi(c)=f(c)g(c). Таким образом, отображение \Delta_c: K[x]\to K,\quad f(x)\mapsto f(c), является гомоморфизмом колец (при этом \text{Ker}\Delta_c=\{f(x)\in K[x] \mid\allowbreak f(c)=0\} ).

Доказательство следует из определения сложения и умножения многочленов в кольце K[x].

Определение 1.13.37. Элемент c\in K называется корнем многочлена f(x)\in K[x], если f(c)=0 .

Теорема 1.13.38 (Безу). Пусть c\in K. Остаток от деления многочлена f(x) в кольце K[x] на множитель x-c равен значению f(c) многочлена f(x) при x=c.

Доказательство. В силу алгоритма деления f(x)=(x-c)q(x)+r(x), где или r(x)=0, или \deg r(x)=0, и поэтому r(x)=r\in K. Итак, f(x)=(x-c)q(x)+r, следовательно, f(c)=(c-c)q(c)+r=r, и поэтому f(x)=(x-c)q(x)+f(c).

Следствие 1.13.39. Элемент c\in K является корнем многочлена f(x)\in K[x] тогда и только тогда, когда многочлен f(x) делится на x-c.

Замечание 1.13.40.

  1. Если a,b\in K, a\ne 0, то делимость многочлена f(x)\in K[x] на многочлен ax+b=a\left(x-\left(-\sfrac{b}{a}\right)\right) равносильна делимости на многочлен x-c, c=-\sfrac{b}{a}, и поэтому нахождение корней многочлена f(x)\in K[x] в поле K равносильно нахождению его линейных делителей в кольце K[x].
  2. Если c\in K, \Delta_c: K[x]\to K, \Delta_c(f)=f(c), то \text{Ker}\Delta_c=\{f(x)\in K[x]\mid f(c)=0\}= (x-c)K[x]=I_c (главный идеал в кольце K[x], порожденный многочленом x-c ).

Замечание 1.13.41 (схема (алгоритм) Горнера деления многочлена \boldsymbol{f(x)\in K[x]} на линейный многочлен \boldsymbol{x-c}, \boldsymbol{c\in K} )

Пусть f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0\in K[x],

\begin{gathe}
f(x)=(x-c)q(x)+r,\quad r\in K,
\\
q(x)=b_{n-1}x^{n-1}+...+b_1x+b_0\in K[x].
\end{gathe}

Тогда, приравнивая коэффициенты при xn,xn-1,...,x,1, соответственно получаем

\begin{align*} & a_n = b_{n-1};
\\ & a_{n-1}=b_{n-2}-cb_{n-1};
\\ & a_{n-2}=b_{n-3}-cb_{n-2};
\\[-1pt] & ...
\\[-1pt] & a_k = b_{k-1}-cb_k;
\\[-1pt] & ...
\\[-1pt] & a_1=b_0-cb_1;
\\ & a_0=r-cb_0.
\end{align*}

Пересчитывая, получаем

\begin{align*} & b_{n-1}=a_n;
\\ & b_{n-2}=cb_{n-1}+a_{n-1};
\\ & b_{n-3}=cb_{n-2}+a_{n-2};
\\[-1pt] & ...
\\[-1pt] & b_{k-1}=cb_k+a_k;
\\[-1pt] & ...
\\[-1pt] & b_0=cb_1+a_1;
\\ & r=cb_0+a_0.
\end{align*}

Таким образом, коэффициенты частного bn-1,...,b1,b0 и остаток r=f(c) последовательно вычисляются по коэффициентам an,...,a1,a0 и элементу c, если использовать однотипную процедуру


Пример 1.13.42. Пусть f(x)=2x4-x2+3x-2, c=-2. Тогда

\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{array}{c|c|c|c|c|c} & 2 & 0 & -1 & 3 & -2
\\
\hline
-2 & 2 & -4 & 7 & -11 & 20
\end{array}\ \

поэтому f(x)=(x+2)q(x)+20, где q(x)=(x+2)(2x3-4x2+7x-11).

Замечание 1.13.43.

  1. Схема Горнера дает быстрый алгоритм вычисления значения r=f(c) многочлена f(x)\in K[x] в точке c (минимизируя число умножений).
  2. Последовательное применение схемы Горнера позволяет построить эффективный алгоритм записи многочлена f(x) в виде формулы Тейлора по степеням (x-c). А именно, при первом применении схемы Горнера крайний правый коэффициент равен f(c), при втором применении крайний справа коэффициент равен f'(c), при третьем - \frac{f''(c)}{2!}, и так далее. Таким образом, если \deg f(x)=n, то f(x)=f(c)+f'(c)(x-c)+\frac{f''(c)}{2!}(x-c)^2+...+ \frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-c)^n (формула Тейлора).

Например, для f(x)=x4-6x3-2x2+5x-4 и c=5 имеем

\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{array}{c|c|c|c|c|l} & 1 & -6 & -2 & 5 & -4\ \vline
\\
\cline{1-6}
5 & 1 & -1 & -7 & -30 & -154=f(5)
\\
\cline{1-5}
5 & 1 & 4 & 13 & \multicolumn{2}{l}{\lefteqn{35=f'(5)}}
\\
\cline{1-4}
5 & 1 & 9 & \multicolumn{3}{l}{\lefteqn{58=\sfrac{f''(5)}{2!}}}
\\
\cline{1-3}
5 & 1 & \multicolumn{4}{l}{\lefteqn{14=\sfrac{f^{(3)}(5)}{3!}}}
\\
\cline{1-2} & \multicolumn{5}{l}{1=\lefteqn{\sfrac{f^{(4)}(5)}{4!}}}
\end{array}

Таким образом, f(x)=(x-5)4+14(x-5)3+58(x-5)2+35(x-5)-154.

Определение 1.13.44.Пусть f(x)\in K[x], c\in K, и c - корень многочлена f(x), т. е. f(c)=0. По теореме Безу многочлен f(x) делится на x-c. Возможно, многочлен f(x) делится на более высокие степени многочлена x-c. Пусть k\inN - такое натуральное число, что f(x) делится на (x-c)k, но не делится на (x-c)k+1, поэтому f(x)=(x-c)^k \varphi(x), многочлен \varphi(x)\in K[x] уже не делится на x-c (это равносильно тому, что \varphi(c)\ne 0 ). В этом случае число k назовем кратностью корня c многочлена f(x), а сам корень c - k -кратным корнем многочлена f(x). Если k=1, то корень c называется простым корнем многочлена f(x).

Замечание 1.13.45. Понятие абстрактного линейного пространства мы детально рассмотрим в "Линейное пространство строк над полем" , после того как изучим ряд конкретных линейных пространств.

Понятие алгебры над полем (как кольца, являющегося к тому же и линейным пространством) будет рассмотрено в "Cтупенчатые системы линейных уравнений и метод Гаусса" .

< Лекция 3 || Лекция 4: 1234 || Лекция 5 >
Акерке Садыкбекова
Акерке Садыкбекова
Надие Якубова
Надие Якубова