Московский государственный университет имени М.В.Ломоносова
Опубликован: 09.09.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 5292 / 587 | Оценка: 4.35 / 3.78 | Длительность: 13:51:00
ISBN: 978-5-9556-0038-3
Специальности: Математик
Лекция 4:

Кольцо многочленов от одной переменной

< Лекция 3 || Лекция 4: 1234 || Лекция 5 >

Определение 1.13.22. Пусть f(x),g(x)\in K[x]. Многочлен d(x)\in K[x] называется наибольшим общим делителем (НОД) многочленов f(x) и g(x), если:

  1. d(x) - общий делитель многочленов f(x) и g(x) (т. е. f(x)=d(x)q(x), g(x)=d(x)\tilde q(x) );
  2. для любого общего делителя d'(x) многочленов f(x) и g(x) многочлен d(x) делится на d'(x).

Обозначение: d(x)=\NOD(f(x),g(x)).

Замечание 1.13.23. Из 2) следует, что deg d(x) >= deg d'(x), т. е. что d(x) - общий делитель наибольшей степени. Правда, нам еще надо установить существование \NOD в нашем смысле.

Теорема 1.13.24 (алгоритм Евклида). Для любых f(x),g(x)\in K[x]:

  1. существует наибольший общий делитель d(x) многочленов f(x) и g(x) ;
  2. d(x)=\NOD(f(x),g(x)) находится по процедуре последовательного деления,восходящей к Евклиду;
  3. наибольший делитель d(x) определен однозначно с точностью до ненулевой константы 0\ne c\in K.

Доказательство. 1), 2) Рассмотрим процедуру Евклида:

\begin{alignat*}{2} & f(x)=g(x)q_1(x)+r_1(x), && \deg r_1(x)<\deg g(x);\\
& g(x)=r_1(x)q_2(x)+r_2(x), && \deg r_2(x)<\deg r_1(x);\\ &
r_1(x)=r_2(x)q_3(x)+r_3(x), && \deg r_3(x)<\deg r_2(x);\\
&...\\ & r_{k-3}(x)=r_{k-2}(x)q_{k-1}(x)\!+\! r_{k-1}(x), &\quad
&\deg r_{k-1}(x)<\deg r_{k-2}(x);\\ & r_{k-2}(x)=r_{k-1}(x)q_k(x)+r_k(x),
&&
\deg r_k(x)<\deg r_{k-1}(x);\\ & r_{k-1}(x)=r_k(x)q_{k+1}(x).
\end{alignat*}

а) Поднимаясь последовательно вверх, мы видим, что rk(x) - общий делитель многочленов g(x) и f(x).

б) Если d'(x) - общий делитель многочленов f(x) и g(x), то, опускаясь последовательно вниз, мы видим, что d'(x) - делитель многочлена d(x).

3) Если d(x) и d'(x) - два наибольших общих делителя, то они делятся друг на друга, и поэтому d'(x)=cd(x), 0\ne c\in P. Ясно, что если d(x) - наибольший общий делитель и 0\ne c\in P, то cd(x) - также наибольший общий делитель.

Теорема 1.13.25 (о выражении наибольшего общего делителя через исходные многочлены). Если f(x),g(x)\in K[x] и d(x)=\NOD(f(x),g(x)), то существуют многочлены u(x),v(x)\in K[x] такие, что d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x) (если при этом \deg f(x)>0, \deg g(x)>0, то можно считать, что

\begin{align*}
\deg u(x)&<\deg g(x),\\
\deg v(x)&<\deg f(x);
\end{align*}
это позволяет искать многочлены u(x), v(x) с неопределенными коэффициентами).

Доказательство. Существование таких многочленов u(x), v(x) следует из алгоритма Евклида нахождения d(x)=rk(x). Мы выражаем последовательно rk(x) сначала через rk-2(x) и rk-1(x), потом, подставляя выражение rk-1(x) через rk-3(x) и rk-2(x), через rk-3(x) и rk-2(x) и, завершая подъем, через g(x) и f(x).

Если найдены "плохие" u(x) и v(x), пусть, например, \deg u(x)\pgeq \deg g(x), то u(x)=g(x)q(x)+r(x), и поэтому d(x)=f(x)r(x)+g(x)[v(x)+f(x)q(x)]. Из сравнения степеней следует, что \deg(v(x)\+f(x)q(x))\!<\!\deg f(x), поскольку \deg(f(x)r(x))\!<\!\deg f(x)\!+\!\deg g(x), \deg d(x)\pleq\deg f(x), \deg d(x)\pleq\deg g(x).

Определение 1.13.26. Многочлены f(x),g(x)\in K[x] из кольца многочленов K[x] над полем K называются взаимно простыми, если их наибольший делитель d(x) равен 1 (т. е. их общие делители - это лишь ненулевые многочлены нулевой степени 0\ne c\in K ).

Теорема 1.13.27. Многочлены f(x),g(x)\in K[x] взаимно просты тогда и только тогда, когда существуют такие многочлены u(x),v(x)\in K[x], что f(x)u(x)+g(x)v(x)=1.

Доказательство.

  1. Если многочлены f(x) и g(x) взаимно просты, то для их наибольшего делителя d(x) имеем равенство d(x)=1. Принимая во внимание выражение многочлена d(x) через f(x) и g(x), получаем, что для некоторых u(x),v(x)\in K[x] f(x)u(x)+g(x)v(x)=1.
  2. Если для u(x),v(x)\in K[x] имеем f(x)u(x)+g(x)v(x)=1, то любой общий делитель многочленов f(x) и g(x) является делителем многочлена 1. Таким образом, \NOD(f(x),g(x))=1, другими словами, многочлены f(x) и g(x) взаимно просты.

Замечание 1.13.28. Многочлены f(x) и g(x) взаимно просты тогда и только тогда, когда K[x]f(x)+K[x]g(x)=K[x] (идеал кольца K[x], порожденный многочленами f(x) и g(x), совпадает со всем кольцом многочленов K[x] ).

Теорема 1.13.29 (основные свойства взаимно простых многочленов). Пусть f(x),g(x),\varphi(x),\psi(x)\in K[x].

  1. Если \NOD(f,\varphi)=1, \NOD(f,\psi)=1, то \NOD(f,\varphi\psi)=1.
  2. Если fg делится на \varphi и \NOD(f,\varphi)=1, то g делится на \varphi.
  3. Если f делится на \varphi и делится на \psi, \NOD(\varphi,\psi)=1, то f делится на \varphi\psi.

Доказательство.

  1. 1) Пусть fu+\varphi v=1 для u(x),v(x)\in K[x]. Умножая это равенство на \psi, получаем f(u\psi)+(\varphi\psi)v=\psi. Отсюда следует, что любой общий делитель многочленов f и \varphi\psi является делителем многочлена \psi, но многочлены f и \psi взаимно просты. Таким образом, \NOD(f,\varphi\psi)=1.
  2. 2) Пусть для u(x),v(x)\in K[x] имеем fu+\varphi v=1. Умножив это равенство на g(x), получим (fg)u+\varphi(vg)=g, и поэтому многочлен g делится на \varphi, поскольку оба слагаемых в левой части делятся на \varphi.
  3. 3) Пусть f=\varphi q, где q(x)\in K[x]. Так как f=\varphi q делится на \psi и \NOD(\varphi,\psi)=1, то, в силу 2), q=\psi\chi, где \chi(x)\in K[x]. Итак: f=\varphi q=(\varphi\psi)\chi

Замечание 1.13.30. Определив наибольший общий делитель d(x)=\NOD(f_1(x),...,f_s(x)) многочленов f_1(x),...,f_s(x)\in K[x],\quad s \geq 1, как такой делитель этих многочленов f1(x),...,fs(x), который делится на любой их общий делитель, получаем, проводя индукцию по s, что d(x)=\NOD(f_s(x),\NOD(f_1(x),...,f_{s-1}(x))).

Упражнение 1.13.31. Если f(x)=x(x-1),\ g(x)=x(x-2),\ h(x)=(x-1)(x-2) \in R[x], то \begin{ga}
\NOD(f,g)=x,\quad
\NOD(f,h)=x-1,\\
\NOD(g,h)=x-2,\quad
\NOD(f,g,h)=1.
\end{ga}

Замечание 1.13.32. В алгоритме Евклида можно для удобства делимое и делитель на каждом шаге умножать на любые ненулевые числа (при этом мы не заботимся о точном вычислении коэффициентов в частных qi(x) ).

Пример 1.13.33. Найти \NOD(f(x),g(x)), где

\begin{align*}
f(x) &= 2x^4+2x^3+x^2-x-1,\\
g(x) &= 3x^4+2x^2-x+2.
\end{align*}

Решение. 3f(x)=g(x)q1(x)+r1(x), где q1(x)=2, r1(x)=6x3-x2-x-7. Делим 2g(x) на r1(x):

\begin{array}{r@{}r@{}r@{}r@{}rr@{}c@{}r@{}r@{}r}
6x^4 & {}+{}0x^3 & {}+{}4x^2 & {}-{}2x &
\multicolumn{1}{r|}{{}+{}4} & {}6x^3 & {}-{} & x^2 & {}-{}x
& {}-{}7\\
\cline{6-9}
6x^4 & {}-{}x^3 & {}-{}x^2 & {}-{}7x & \multicolumn{1}{r|}{}
& x\hphantom{{}^3} & \vdots & 1\hphantom{{}^2}\\
\cline{1-5}
\rule{0pt}{15pt} & x^3 & {}+{}5x^2 & {}+{}5x & {}+{}4\\ &
\multicolumn{4}{@{}c@{}}{\dotfill}\\ & 6x^3 & {}+{}30x^2 &
{}+{}30x & {}+{}24\\ & 6x^3 & {}-{}x^2 & {}-{}x & {}-{}7\\
\cline{2-5}
\rule{0pt}{15pt} & & 31x^2 & {}+{}31x & {}+{}31
\end{array}

Многоточием ... отмечено место, в котором мы произвели домножение на 6 (соответственно многоточие \vdots показывает, что мы не находим точные коэффициенты для q2(x) ). Таким образом, g(x)=r1(x)q2(x)+r2(x), где с точностью до ненулевого множителя r2(x)=x2+x+1. Далее,

\begin{array}{r@{}r@{}r@{}rr@{}r@{}r}
6x^3 & {}-{}x^2 & {}-{}x & \multicolumn{1}{r|}{{}-{}7} & x^2
& {}+{}x & {}+{}1\\
\cline{5-7}
6x^3 & {}+{}6x^2 & {}+{}6x & \multicolumn{1}{r|}{} & 6x &
{}-{}7\\
\cline{1-4}
\rule{0pt}{15pt} & {}-{}7x^2 & {}-{}7x & {}-{}7\\ & {}-{}7x^2
& {}-{}7x & {}-{}7\\
\cline{2-4}
\rule{0pt}{15pt} & & & 0
\end{array}

То есть r1(x) делится нацело на r2(x). Итак, \NOD(f(x),g(x))=x^2+x+1.

< Лекция 3 || Лекция 4: 1234 || Лекция 5 >
Акерке Садыкбекова
Акерке Садыкбекова
Надие Якубова
Надие Якубова