Опубликован: 10.09.2016 | Доступ: свободный | Студентов: 946 / 165 | Длительность: 15:27:00
Тема: Экономика
Лекция 6:

Сглаживание временных рядов

6.3. Методы взвешенных скользящих средних

Суть методов взвешенных скользящих средних заключается в том, что значениям исходного ряда приписывается вес a_{r}, зависящий от расстояния до середины интервала сглаживания, т.е. от |r|. Тогда а - r = a_{r} и сглаживание по этим методам является центрированным и симметричным. Для определения весов прибегают к различным подходам.

Рассмотрим первый подход. Пусть весами являются члены разложения бинома (0,5 + 0,5)^{2k}, m = 2k + 1. Тогда

a_{r} = C_{2k}^{k-r}(0,5)^{k-r}(0,5)^{2k-(k-r)},
					\\
					r = 0,1, \dots , k\\
				a_{r} = C_{2k}^{k-r}(0,5)^{2k}, (6.4)
где C_{2k}^{k-r} - число сочетаний из 2k элементов по k - r элементов.

При этом a_{-r} = C_{2k}^{k-(-r) }= C_{2k}^{k+r}. По свойству сочетаний имеем


Получаем:

при m = 3 (k = 1) a_{-1} = 1/4, a_{0 }= 1/2, a_{1 }= 1/4;

при m = 5 (k = 2) a_{-2} = 1/16, a_{-1} = 1/4, a_{0 }= 3/8, a_{1 }= 1/4, a_{2 }= 1/16;

при m = 7 (k = 3) a_{-3} = 1/64, a_{-2} = 3/32, a_{-1} = 15/64, a_{0 }= 5/16, a_{1 }= 15/64, a_{2 }= 3/32, a_{3 }= 1/64.

Второй подход заключается в подборе полинома регрессии к данным, содержащимся в интервале сглаживания. При этом свободный член а полинома регрессии выбирается равным расчетному значению ряда Y(t).

Рассмотрим случай, когда уравнение регрессии квадратичное, т.е. сглаживание происходит на основе уравнения параболы. В этом случае для каждого набора m последовательных членов исходного ряда составляется система m = 2k + 1 уравнений для расчета по методу наименьших квадратов:

Z(t + i) = a + b_{i} + c_{i}^{2}; I = -k; -k + 1; -1; 0; 1; \dots; k - 1; k, (6.5)
где Z(t + i) - расчетные значения квадратичного уравнения регрессии.

Сглаженное значение ряда Y(t) выбирается по формуле

Y(t) = Z(t + 0) = a. (6.6)

Запишем систему нормальных уравнений для определения коэффициентов параболы а, b, c


(6.7)

Так как получаем из системы (6.7)


(6.8)

Исключив с из первого и третьего уравнений системы (6.8), получаем формулу для расчета коэффициента а


(6.9)

При m = 5, k = 2 имеем

а = -(3/35)X(t - 2) + (128/35)X(t - 1) + (17/35)X(t) +\\
				+ (12/35)X(t + 1) - (3/35)X(t + 2), (6.10)

т.е. a_{r} = -3/35; 12/35; 17/35; 12/35; 3/35.

Аналогично для m = 7, k = 3 и для m = 9, k = 4 соответственно получаем

a_{r} = -2/21; 3/21; 6/21; 7/21; 6/21; 3/21; -2/21, (6.11)
a_{r} = -21/231; 14/231; 39/231; 54/231; 39/231; 14/231; -21/231. (6.12)

Можно легко проверить, что если в качестве сглаживающего многочлена взять прямую, то коэффициенты a_{r} = 1/m, т.е. совпадут с коэффициентами сглаживания с помощью метода простой скользящей средней.

Предположим, дисперсия уровней исходного ряда постоянная и равна \sigma ^{2}, а сами члены ряда X(t_{i}) независимы между собой. В этом случае дисперсия сглаженного по квадратичному полиному ряда Y(t) равна


(6.3)

При а при т.е. тенденция к уменьшению дисперсии с ростом m сохраняется.

При сглаживании с помощью скользящей средней нет возможности получить сглаженные значения для k первых и k последних членов ряда X(t). В случае сглаживания с помощью полинома регрессии для крайних членов исходного ряда могут быть получены сглаженные значения - значения полинома регрессии в этих точках. Но для этого надо оценить не только свободный член a полинома, но и остальные коэффициенты полинома регрессии (коэффициенты b, с в квадратичном случае). Из системы (6.8) получаем


(6.13)

Для m = 5, k = 2 из (6.10), (6.13) для начальных значений ряда имеем

a = Z(0) = Y(3) = -(3/35)X(1) + (12/35)X(2) + (17/35)X(3) + (12/35)X(4) - (3/35)X(5), (6.14)

(6.15)
Y(1) = Z(-2) = a + b(-2) + c(-2)2 = a - 2b + 4c, (6.16)
Y(2) = Z(-1) = a + b(-1) + c(-1)2 = a - b + c. (6.17)

Для последних пяти членов ряда аналогично получаем (n - объем выборки):

a = Z(0) = Y(n - 2) = -(3/35)X(n - 4) + (12/35)X(n - 3) + (17/35)X(n - 2) + (12/35)X(n - 1) - (3/35)X(n), (6.18)

(6.19)
Y(n - 1) = Z(1) = a + b(1) + c(1)2 = a + b + c, (6.20)
Y(n) = Z(2) = a + b(2) + c(2)2 = a + 2b + 4c. (6.21)
Инесса Воробьева
Инесса Воробьева

В дисциплине "Основы эконометрики" тест 6 дается по теме 7.