Донецкий национальный технический университет
Опубликован: 15.03.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 5217 / 1566 | Оценка: 4.11 / 3.78 | Длительность: 12:32:00
Специальности: Математик
Лекция 11:

Компьютерное моделирование при обработке опытных данных

Сглаживание опытных данных методом наименьших квадратов

В этом методе при сглаживании опытных данных аппроксимирующей кривую F(x) стремятся провести так, чтобы ее отклонения \varepsilon_i от табличных данных (уклонения) по всем узловым точкам были минимальными (рис 11.6), т.е.

\varepsilon_i=\left|F(x_i) - y_i \right| \to min. ( 11.6)

Рис. 11.6.

Избавимся от знака уклонения. Тогда условие (11.6) будет иметь вид:

\varepsilon_i^2=\left|(F(x_i) - y_i)^2 \right| \to min. ( 11.7)

Суть метода наименьших квадратов заключается в следующем: для табличных данных, полученных в результате эксперимента, отыскать аналитическую зависимость F(x), сумма квадратов уклонений которой от табличных данных по всем узловым точкам была бы минимальной, т.е.

\sum \limits_{i=0}^{n}\varepsilon_i^2 = \sum \limits_{i=0}^{n} (F(x_i) - y_i)^2 \to min ( 11.8)

Для определенности задачи искомую функцию F(x) будем выбирать из класса алгебраических многочленов степени m:

P_m(x) = a_0 x^m + a_1 x^{m-1} + a_2 x^{m-2} + \ldots + a_{m-1} x^1 + a_m. ( 11.9)

Назовем многочлен (11.9) аппроксимирующим многочленом. Аппроксимирующий многочлен не проходит через все узловые точки таблицы. Поэтому его степень m не зависит от числа узловых точек. При этом всегда m < n. Степень m может меняться в пределах 1 \le m \le N-2.

Если m=1, то мы аппроксимируем табличную функцию прямой линией. Такая задача называется линейной регрессией.

Если m=2, то мы аппроксимируем табличную функцию квадратичной параболой. Такая задача называется квадратичной аппроксимацией.

Если m=3, то мы аппроксимируем табличную функцию кубической параболой. Такая задача называется кубической аппроксимацией.

Уточним метод наименьших квадратов: для табличной функции, полученной в результате эксперимента, построить аппроксимирующий многочлен (11.9) степени m, для которого сумма квадратов уклонений по всем узловым точкам минимальна, т.е.

S = \sum \limits_{0}^{n} (P_m(x_i) - y_i) \to min. ( 11.10)

Изменим вид многочлена Pm. Поставим на последнее место слагаемые, содержащие xm. На предпоследнее - слагаемые, содержащие xm-1 и т.д. В результате получим:

P_m(x) = a_0 x^0+ a_1 x^1 + a_2 x^2 + \ldots + a_m x^m. ( 11.11)

или

P_m(x) = \sum \limits_{j=0}^{m}a_j x^j

При этом изменим индексы коэффициентов многочлена. Тогда условие (11.8) будет иметь вид:

S = \sum \limits_{i=0}^{n} (a_0 x_i^0 + a_1 x_i^1 + a_2 x_i^2 + \ldots + a_m x_i^m - y_i)^2 \to min,

где

xi и yi - координаты узловых точек таблицы,

aj, j=\overline{0,m} -неизвестные коэффициенты многочлена (11.11).

Александр Никитин
Александр Никитин

Добрый день.

В расчете параметра Т4 xi суммируется с величиной h/2 ?

Елена Голяева
Елена Голяева
Иван Огородников
Иван Огородников
Россия, Ханты-Мансийск
Татьяна Якубайлик
Татьяна Якубайлик
Россия, Красноярск