Донецкий национальный технический университет
Опубликован: 15.03.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 5215 / 1565 | Оценка: 4.11 / 3.78 | Длительность: 12:32:00
Специальности: Математик
Лекция 11:

Компьютерное моделирование при обработке опытных данных

Программирование формулы Ньютона

Для построения многочлена Ньютона по формуле (11.7) организуем циклический вычислительный процесс по k=\overline{1,n}. При этом на каждом шаге поиска находим разделенные разности k -го порядка. Будем помещать разделенные разности на каждом шаге в массив Y.

Тогда рекуррентная формула (11.8) будет иметь вид:

y_i = \frac{y_{i+1} - y_i}{x_{i+k} - x_i}\\  k=\overline{1,n};\\ i=\overline{0,n-k}. ( 11.9)

В формуле Ньютона (11.7) используются разделенные разности k -го порядка, подсчитанные только для участков [x0, x0+k], т.е. разделенные разности k -го порядка для i=0. Обозначим эти разделенные разности k-го порядка как у0. А разделенные разности, подсчитанные для I > 0, используются для расчетов разделенных разностей более высоких порядков.

Используя (11.9), свернем формулу (11.7). В результате получим

L_n(x) = y_o + \sum \limits_{k=1}^{n}P \cdot y_0^* ( 11.10)

где

у0 - значение табличной функции (11.1) для x=x0.

y_0^* - разделенная разность k-го порядка для участка [x0, x0+k].

P = (x - x_0)(x - x_1)\ldots (x - x_{k-1}) = \prod \limits_{j=0}^{k-1} (x - x_j).

Для вычисления Р удобно использовать рекуррентную формулу P = P(x - xk-1) внутри цикла по k.

Схема алгоритма интерполяции по Ньютону представлена на рис.11.4.

Схема алгоритма интерполяции по Ньютону

Рис. 11.4. Схема алгоритма интерполяции по Ньютону

Пример интерполяции по Ньютону

Дана табличная функция:

i xi yi
0 2 0,693147
1 3 1,098613
2 4 1,386295
3 5 1,609438

Вычислить разделенные разности 1-го, 2-го, 3-го порядков (n=3) и занести их в диагональную таблицу.

Разделенные разности первого порядка:

f(x_0,x_1) = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}= \frac{1,098613 - 0,693147}{3 - 2} = 0,405466.\\
f(x_1,x_2) = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}= \frac{1,386295 - 1,098613}{4 - 3} = 0,287682.\\
f(x_2,x_3) = \frac{f(x_3) - f(x_2)}{x_3 - x_2}= \frac{1,609438 - 1,386295}{5 - 4} = 0,223143.

Разделенные разности второго порядка:

f(x_0,x_1,x_2) = \frac{f(x_1,x_2) - f(x_0,x_1)}{x_2 - x_0}= \frac {0,287682 - 0,405466}{4 - 2} = -0,058892.\\
f(x_1,x_2,x_3) = \frac{f(x_2,x_3) - f(x_0,x_2)}{x_3 - x_1}= \frac {0,223143 - 0,287682}{5 - 3} = - 0,0322695.

Разделенная разность третьего порядка:

f(x_0,x_1,x_2,x_3) = \frac{f(x_1,x_3) - f(x_0,x_2)}{x_3 - x_0}= \frac {- 0,0322695 - (- 0,058892)}{5 - 2} = 0,00887416
Таблица 11.1. Диагональная таблица разделенных разностей
i xi Разделенная разность
0-го пор. 1-го пор. 2-го пор. 3-го пор.
0 2 0,693147      
      0,405466    
1 3 1,098613   -0,058892  
      0,287682   0,00887416
2 4 1,386295   -0,0322695  
      0,223143    
3 5 1,60943      

Интерполяционный многочлен Ньютона для заданной табличной функции имеет вид:

L_3(x) = f(x_0) + (x - x_0) \cdot f(x_0,x_1) + (x-x_0)(x  - x_1) \cdot f(x_0,x_1,x_2) +\\+ (x - x_0)(x - x_1)(x - x_2) \cdot f(x_0,x_1,x_2,x_3) = 0,693147 + (x - 2) \cdot 0,405466+\\ + (x-2)(x-3) \cdot (-0,058892) + (x-2)(x-3)(x-4) \cdot 0,0887416.

Далее полученный интерполяционный многочлен Ньютона можно привести к нормальному виду

L_3(x) = a_0x^3 + a_1x^2 + a_2x + a_3
и использовать его для решения задач интерполирования или прогноза.

Александр Никитин
Александр Никитин

Добрый день.

В расчете параметра Т4 xi суммируется с величиной h/2 ?

Елена Голяева
Елена Голяева
Сергей Сивохо
Сергей Сивохо
Россия, г. Калининград