Донецкий национальный технический университет
Опубликован: 15.03.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 5215 / 1565 | Оценка: 4.11 / 3.78 | Длительность: 12:32:00
Специальности: Математик
Лекция 11:

Компьютерное моделирование при обработке опытных данных

Сплайн-интерполяция

Сплайны стали широко использоваться в вычислительной математике сравнительно недавно. В машиностроительном черчении они применяются уже давно, так как сплайны - это лекала или гибкие линейки, деформация которых позволяет провести кривую через заданные точки (xi, уi).

Используя теорию изгиба бруса при малых деформациях, можно показать, что сплайн - это группа кубических многочленов, в местах сопряжения которых первая и вторая производные непрерывны. Такие функции называются кубическими сплайнами. Для их построения необходимо задать коэффициенты, которые единственным образом определяют многочлен в промежутке между данными точками.

Например, для некоторых функций (рис.11.5) необходимо задать все кубические функции q1(x), q2(x), :qn(x).

В наиболее общем случае эти многочлены имеют вид:

q_i(x) =k_{1j} + k_{2i} x + k_{3i} x^2 + k_{4i} x^3, i=\overline{1,n},

где kij - коэффициенты, определяемые описанными ранее условиями, количество которых равно 4n. Для определения коэффициентов kij необходимо построить и решить систему порядка 4n.


Рис. 11.5.

Первые 2n условий требуют, чтобы сплайны соприкасались в заданных точках:

q_i(x_i) = y_i, i=\overline{1,n};\\
q_{i+1}(x_i) = y_i, i=\overline{0,n-1}.

Следующие (2п-2) условий требуют, чтобы в местах соприкосновения сплайнов были равны первые и вторые производные:

q_{i+1}'(x_i) = q'_i(x_i),& i=\overline{1,n-1};\\
q''_{i+1}(x_i) = q_i''(x_i),& i=\overline{0,n-1}.

Система алгебраических уравнений имеет решение, если число уравнений соответствует числу неизвестных. Для этого необходимо ввести еще два уравнения. Обычно используются следующие условия:

q_1''(x_0) = 0, ..., q_n''(x_n) = 0.

При построении алгоритма метода первые и вторые производные удобно аппроксимировать разделенными разностями соответствующих порядков.

Полученный таким образом сплайн называется естественным кубическим сплайном. Найдя коэффициенты сплайна, используют эту кусочно-гладкую полиноминальную функцию для представления данных при интерполяции.

Аппроксимация опытных данных

В результате проведения натурного эксперимента получена табличная функция:

i X Y
0 xo yo
1 x1 y1
2 x2 y2
3 x3 y3
: : :
n xn yn

где

N-количество узловых точек в таблице,

n=N-1.

Задача аппроксимации заключается в отыскании аналитической зависимости y=f(x) полученной табличной функции.

В настоящее время существует 2 способа аппроксимации опытных данных:

Первый способ. Этот способ требует, чтобы аппроксимирующая кривая F(x), аналитический вид которой необходимо найти, проходила через все узловые точки таблицы. Эту задачу можно решить с помощью построения интерполяционного многочлена степени n:

P_n(x) = a_0 x^n + a_1 x^{n-1} + a_2 x^{n-2} + \ldots + a_{n-1} x^1 + a_n. ( 11.12)

Однако этот способ аппроксимации опытных данных имеет недостатки:

  1. Точность аппроксимации гарантируется в небольшом интервале [x0, xn] при количестве узловых точек не более 7-8.
  2. Значения табличной функции в узловых точках должны быть заданы с большой точностью.

Известно, что как бы точно не проводился эксперимент, результаты эксперимента содержат погрешности. Дело в том, что на самом деле исследуемая величина зависит не только от одного аргумента Х, но и от других случайных факторов, которые от опыта к опыту колеблются по своим собственным случайным законам. Этим самым обуславливается случайная колеблемость исследуемой функции.

В результате аппроксимировать опытные данные с помощью интерполяционного многочлена, который проходил бы через все узловые точки таблицы, не всегда удается. Более того, стремясь пройти через все узловые точки таблицы и увеличивая порядок многочлена, мы тем самым начинаем воспроизводить не только закономерные изменения снимаемой функции, но и ее случайные помехи.

Второй способ. На практике нашел применение другой способ аппроксимации опытных данных - сглаживание опытных данных. Сущность этого метода состоит в том, что табличные данные аппроксимируют кривой F(x), которая не обязательно должна пройти через все узловые точки, а должна как бы сгладить все случайные помехи табличной функции.

Александр Никитин
Александр Никитин

Добрый день.

В расчете параметра Т4 xi суммируется с величиной h/2 ?

Елена Голяева
Елена Голяева
Илья Клементьев
Илья Клементьев
Египет, Украина
Семен Дядькин
Семен Дядькин
Беларусь, Минск, БГУ, 2003