Донецкий национальный технический университет
Опубликован: 15.03.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 5215 / 1565 | Оценка: 4.11 / 3.78 | Длительность: 12:32:00
Специальности: Математик
Лекция 11:

Компьютерное моделирование при обработке опытных данных

Интерполяция по Ньютону

Дана табличная функция:

i xi yi
0 x0 y0
1 x1 y1
2 x2 y2
 ...  ... ...
n xn yn

или

y_i = f(x_i), i=\overline{0,n}. ( 11.1)

Точки с координатами (xi, yi) называются узловыми точками или узлами.

Количество узлов в табличной функции равно

N=n+1.

Необходимо найти значение этой функции в промежуточной точке, например, x=D, причем D \in[x_0,x_n].

Для решения задачи строим интерполяционный многочлен.

Интерполяционный многочлен по формуле Ньютона имеет вид:

L_n(x) = f(x_0) + (x - x_0) \cdot f(x_0,x_1) +\\ 
+ (x - x_0) \cdot(x - x_1) \cdot f(x_0,x_1,x_2) +\\ 
+ (x - x_0) \cdot(x - x_1) \cdot(x - x_2) \cdot f(x_0,x_1,x_2,x_3) + \ldots +\\ 
+ (x - x_0) \cdot(x - x_1) \cdot \ldots \cdot (x - x_{n-1}) \cdot f(x_0,x_1, \ldots,x_n), ( 11.7)

где

n - степень многочлена,

f(x_0), f(x_0,x_1), f(x_0,x_1,x_2), f(x_0,x_1,\ldots, x_n) - разделенные разности 0-го, 1-го, 2-го,:., n-го порядка, соответственно.

Разделенные разности

Значения f(x0), f(x1), : , f(xn), т.е. значения табличной функции в узлах, называются разделенными разностями нулевого порядка (k=0).

Отношение f(x_0,x_1) = \frac{f(x_1)-f(x_0)}{x_1 - x_0} называется разделенной разностью первого порядка (k=1) на участке [x0, x1] и равно разности разделенных разностей нулевого порядка на концах участка [x0, x1], разделенной на длину этого участка.

Для произвольного участка [xi, xi+1] разделенная разность первого порядка (k=1) равна

f(x_i,x_{i+1}) = \frac{f(x_{i+1})-f(x_i)}{x_{i+1} - x_i}.

Отношение f(x_0,x_1,x_2) = \frac{f(x_1,x_2)-f(x_0,x_1)}{x_2 - x_0} называется разделенной разностью второго порядка (k=2) на участке [x0, x2] и равно разности разделенных разностей первого порядка, разделенной на длину участка [x0, x2].

Для произвольного участка [xi, xi+2] разделенная разность второго порядка (k=2) равна

f(x_i,x_{i+1},x_{i+2}) = \frac{f(x_{i+1},x_{i+2}) - f(x_i,x_{i+1})}{x_{i+2} - x_i}

Таким образом, разделенная разность k -го порядка на участке [xi, xi+k] может быть определена через разделенные разности (k-1) -го порядка по рекуррентной формуле:

f(x_i,x_{i+1},x_{i+2}, \ldots,x_{i+k}) = \frac{ f(x_{i+1},x_{i+2}, \ldots,x_{i+k}) -  f(x_i,x_{i+1}, \ldots,x_{i+k-1})}{x_{i+k} - x_i} ( 11.8)

где

k=\overline{1,n},
i=\overline{0,n-k},

n - степень многочлена.

Максимальное значение k равно n. Тогда i =0 и разделенная разность n -го порядка на участке [x0,xn] равна f(x_0,x_i, \ldots,x_n) = \frac{ f(x_1,x_2, \ldots,x_n) - f(x_0,x_1, \ldots,x_n-1)}{x_n - x_0}, т.е. равна разности разделенных разностей (n-1) -го порядка, разделенной на длину участка [x0,xn].

Разделенные разности f(x_0,x_1), f(x_0,x_1,x_2), \ldots, f(x_0,x_1,\ldots, x_n) являются вполне определенными числами, поэтому выражение (11.7) действительно является алгебраическим многочленом n -й степени. При этом в многочлене (11.7) все разделенные разности определены для участков [x0, x0+k], k=\overline{1,n}.

Лемма: алгебраический многочлен (11.7), построенный по формулам Ньютона, действительно является интерполяционным многочленом, т.е. значение многочлена в узловых точках равно значению табличной функции

L_n(x_i) = f(x-i) = y_i; i=0,1, \ldots n.

Докажем это. Пусть х=х0, тогда многочлен (11.7) равен

L_n(x_0) = f(x_0) = y_0.

Пусть х=х1, тогда многочлен (11.7) равен

L_n(x_1) = f(x_0) + (x_1 - x_0) \cdot f(x_0,x_1) = f(x_0) + (x_1 - x_0) \cdot \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0} = f(x_1) = y_1

Пусть х=х2, тогда многочлен (11.7) равен

L_n(x_2) = f(x_0) + (x_2 - x_0) \cdot f(x_0,x_1) + (x_2 - x_0) \cdot (x_2 - x_1) \cdot f(x_0,x_1,x_2) =\\= f(x_0) + (x_2 - x_0) \cdot \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}+  (x_2 - x_0) \cdot (x_2 - x_1) \cdot \frac{f(x_1,x_2) - f(x_0,x_1)}{x_2 - x_0}= f(x_1) = y_1

Заметим, что решение задачи интерполяции по Ньютону имеет некоторые преимущества по сравнению с решением задачи интерполяции по Лагранжу. Каждое слагаемое интерполяционного многочлена Лагранжа зависит от всех значений табличной функции yi, i=0,1,:n. Поэтому при изменении количества узловых точек N и степени многочлена n (n=N-1) интерполяционный многочлен Лагранжа требуется строить заново. В многочлене Ньютона при изменении количества узловых точек N и степени многочлена n требуется только добавить или отбросить соответствующее число стандартных слагаемых в формуле Ньютона (11.7). Это удобно на практике и ускоряет процесс вычислений.

Александр Никитин
Александр Никитин

Добрый день.

В расчете параметра Т4 xi суммируется с величиной h/2 ?

Елена Голяева
Елена Голяева
Софья Кошелева
Софья Кошелева
Россия, г.Саранск
Илья Клементьев
Илья Клементьев
Египет, Украина