Предварительные сведения

Множества

Множество - это одно из основных понятий математики, как дискретной, так и непрерывной. Оно не определяется через другие понятия. Содержательно, под множеством понимается некоторая совокупность элементов. Основное отношение между элементами и множеством - это отношение принадлежности элемента множеству. Оно обозначается знаком означает, что элемент x принадлежит множеству A. означает, что элемент x не входит в множество A. означает, что каждый элемент множества A является также элементом множества B. В этом случае множество A называется подмножеством множества B. Если и то A=B, т.е. множества A и B равны. Если и то A называется собственным подмножеством множества B, и в этом случае пишем Множество, не содержащее элементов, называется пустым и обозначается .

Обычно множества обозначаются с помощью пары фигурных скобок, в которые заключены их элементы. Небольшие множества задаются прямым перечислением всех элементов. Например, множество простых чисел, не превосходящих 10, это {2, 3, 5, 7} ; множество (имен) летних месяцев: {июнь, июль, август}. В описаниях "больших" конечных множеств используют многоточие. В них часто указывается несколько первых элементов и последний элемент множества. Например, множество целых неотрицательных чисел, не превосходящих 100, записывают как {0, 1, 2, ... , 100}, множество всех месяцев года - как { январь, февраль, ..., декабрь}. Такое задание требует определенной аккуратности. Например, если некоторое множество A задано как {3, 5, 7, ... , 19}, то не ясно, является ли A множеством нечетных чисел, лежащих в интервале от 3 до 19, или это множество простых чисел из того же интервала (возможны и другие его расшифровки). Перечисления элементов бесконечных множеств начинаются несколькими начальными элементами, а завершаются многоточием. При этом часто указывают общий вид элемента задаваемого множества. Основное бесконечное множество, рассматриваемое в дискретной математике, это множество всех натуральных чисел N={1, 2, 3, ... } . Множество всех квадратов этих чисел можно задать, например, так: {1, 4, 9, ..., n², ... } .

Как мы уже отметили, большие множества не всегда можно точно определить, используя перечисление с многоточием. Основной способ их описания имеет вид: { Elem | условие на Elem}, где Elem - это общий вид элемента определяемого множества, а после вертикальной черты описано условие, которому этот элемент должен удовлетворять. Например, - это множество целых чисел в интервале от 10 до 1000, - множество квадратов натуральных чисел, - множество всех простых чисел.

Множества, элементами которых являются другие множества, часто называют семействами или классами. Семейство ( множество ) всех подмножеств множества A обозначается через 2^A, т.е. Например, если A={ 0, 1, {2,3}}, то а для пустого множества семейство его подмножеств

Операции над множествами

Имеется целый ряд операций, позволяющих получать одни множества из других. Рассмотрим основные из них.

Объединением множеств A и B называется множество

Объединением семейства множеств называется множество

Пересечением множеств A и B называется множество

Пересечением семейства множеств называется множество

Из определения операций объединения и пересечения непосредственно следует, что они обладают свойствами ассоциативности: и коммутативности

Разностью множеств A и B называется множество

Обычно все рассматриваемые множества являются подмножествами некоторого "универсального" множества U. Разность U \ A называется дополнением множества A (в U ) и обозначается через Ясно, что и

Симметрической разностью множеств A и B называется множество

Иногда симметрическую разность множеств называют дизъюнктивной суммой и обозначают или

Декартовым (прямым) произведением множеств A₁, ... , A_n называется множество n -ок

Если A₁= ... =A_n=A, то A₁ x ... A_n называется декартовой (прямой) степенью множества A и обозначается через Aⁿ .

Пример1.1. Пусть заданы множества A= {0,1,... ,n} и B={0,1,... m}, где и - числа и n < m.

Тогда A x B = {(i,j)| 0 <= i <= n, 0 <= j <= m}.

Как доказывать равенство множеств?

Многие математические утверждения, в том числе и многие теоремы в этой книге, имеют следующую форму. Даны разные определения двух множеств A и B. Требуется доказать, что A = B.

Стандартный способ доказательства такого утверждения состоит в доказательстве двух утверждений о включениях:

1. и
2. 

Доказательства этих включений проводятся по такой схеме: рассматривается произвольный элемент, удовлетворяющий определению меньшего множества (слева от знака ), и устанавливается, что он удовлетворяет также определению большего множества (справа от знака ).

В качестве примера докажем одно из свойств (законов) дистрибутивности для операций объединения и пересечения:

1. Пусть a - произвольный элемент из Тогда по определению операции имеем или В первом случае из того же определения выводим, что и Но тогда по определению операции получаем, что Во втором случае из определения следует, что и Из этого и из определения снова следует, что и и Таким образом, мы установили, что
2. Пусть теперь Тогда по определению операции имеем и Если то оба эти включения выполнены. Но тогда Если же то из первого включения следует, что а из второго - Следовательно, и Таким образом, и наше утверждение доказано.

Используя эту же схему, можно установить много других свойств введенных выше операций над множествами и связей между ними (см. задачи 1.2 и 1.5).