Логика предикатов и базы данных

Реляционные базы данных

Большинство современных промышленных баз данных являются реляционными - данные в них представляют конечные отношения (relations), которые хранятся в таблицах. Схема отношения R(A₁,A₂, ..., A_n) включает имя отношения R и список его атрибутов A₁,A₂, ..., A_n. Вообще говоря, атрибуты в схеме отношения считаются неупорядоченными, т.е. являются не списком, а множеством. Но мы будем считать, что их порядок в схеме является "стандартным". Для каждого атрибута A_i определено множество dom(A_i) его допустимых значений. Схема базы данных состоит из перечня схем отношений, входящих в эту базу. В приложениях отношения чаще называют таблицами, их атрибуты - столбцами, строки таблиц - кортежами или записями, а их элементы - полями. В каждый момент времени состояние базы данных (ее экземпляр) - это набор (конечных) таблиц имеющих соответствующие схемы.

Пример 8.1. Пусть, например, база данных со сведениями о сотрудниках некоторой организации имеет схему: Сотрудники(Номер, ФИО, Отдел, Должность, Оклад), Комнаты(НомерСотрудника, Этаж, НомерКомнаты). Рассмотрим некоторый экземпляр этой базы данных.

С точки зрения логики предикатов, этот экземпляр не что иное, как некоторая конечная система сигнатуры с основным множеством, включающим строки и числа из таблиц. Первая из приведенных таблиц задает интерпретацию предиката Сотрудники⁽⁵⁾, а вторая - интерпретацию предиката Комнаты⁽³⁾.

Каждому отношению базы данных со схемой R(A₁, ..., A_n) мы сопоставим n -местный предикат с тем же именем и n одноместных предикатов A_i(x) (i=1, ..., n), выражающих принадлежность объекта x области dom(A_i) допустимых значений атрибута A_i. Следовательно, кортеж (a₁, ... , a_n) принадлежит отношению R тогда и только тогда, когда истинна формула . Множество таких предикатов для всех отношений базы данных и стандартных отношений, определенных на областях ее атрибутов (обычно это отношения равенства и порядка: =, <, <=, >, >= ), образуют сингатуру базы данных.

Например, для приведенного выше отношения Сотрудники⁽⁵⁾ предикаты-свойства соответствующих областей значений могут быть заданы следующим образом:

• - целое число,
• - строка символов длины <= 30,
• ,
• - строка символов длины <= 80,
• - целое число в интервале от 1000 до 100 000.

Каждый кортеж отношения Сотрудники удовлетворяет формуле .

Ниже мы будем просто писать R(a₁, ... , a_n), подразумевая, что значения a_i входят в соответствующие области dom(A_i). Каждая формула со свободными переменными x₁, ... , x_k в сигнатуре базы данных определяет множество состояний, т.е. наборов значений ее свободных переменных, на которых она истинна. Такое множество наборов можно рассматривать как множество кортежей, которые входят в новое отношение , определяемое формулой

Например, формула

задает отношение , определяющее список комнат сотрудников планового отдела:

Отметим, что для конечных систем поиск значений свободных переменных формул логики предикатов, при которых они выполняются, и проверка истинности замкнутых формул производятся эффективно.

Реляционная алгебра

Для манипуляции отношениями Коддом в 1970 г. был предложен набор реляционных операторов, позволяющих по одним отношениям получать другие. Каждый такой оператор является функцией (вообще говоря, частичной), аргументами и значениями которой являются отношения. Из базовых реляционных операторов можно с помощью суперпозиции образовывать сложные термы. Совокупность получаемых таким образом операций над отношениями называется реляционной алгеброй.

В этом разделе мы рассмотрим семь основных реляционных операторов, введенных Коддом в качестве базиса реляционной алгебры, и покажем, как они выражаются в терминах логики предикатов.

Теоретико-множественные операции

Первую группу реляционных операторов представляют теоретико-множественные операции:

• Объединение
• Пересечение
• Вычитание
• Декартово произведение

В "лекции 1" мы рассматривали все эти операции для множеств. Особенности их использования в реляционной алгебре состоят в том, что объединение, пересечение и вычитание применяются к отношениям, имеющим одно и то же множество одинаково упорядоченных атрибутов. Пусть имеются два таких отношения R(A₁, ..., A_n) и S(A₁, ..., A_n). Тогда результат их объединенния - это отношение , содержащее все кортежи отношения R и все кортежи отношения S (кортежи, содержащиеся и в R, и в S, входят в P в одном экземпляре). Это отношение представляется формулой . Результат пересечения - это отношение P₂ = R \cap S, которое содержит кортежи, входящие и в R и в S. Оно представляется формулой . Результат разности P₃= R - S включает кортежи из R, не входящие в S. Это отношение представляется формулой . Декартово произведение P₄= R x S отношений R(A₁, ..., A_n) и S(B₁, ..., B_m) содержит кортежи, которые составлены из кортежей отношения R, продолженных кортежами отношения S. Список атрибутов P₄ включает все атрибуты отношений R и S: (A₁, ..., A_n, B₁, ..., B_m). Если у R и S имеются общие атрибуты, то они переименовываются. Обычно перед именем атрибута общего атрибута A_i=B_j помещается через точку имя его отношения, R.A_i и S.B_j. Результат декартового произведения задается формулой (мы предполагаем, что все переменные x_i и y_j разные).