Три алгоритма на графах

Построение минимального остова

Во многих задачах в заданном графе нужно выделить некоторую часть, обладающую тем или иным свойством.

Определение 11.1. Граф G₁=(V₁,E₁) называется подграфом графа G=(V,E), если и .

Для неориентированных связных графов одним из интересных классов подграфов являются деревья, сохраняющие связность вершин. Они называются остовами, остовными деревьями, каркасами или скелетами графа.

Определение 11.2. Остовом (неориентированного) связного графа G=(V,E) называется его подграф S=(V,T), являющийся деревом.

Пусть задана функция c: E -> R, приписывающая каждому ребру его стоимость (вес, длину) ( R - множество вещественных чисел). Тогда стоимость c(S) дерева S определяется как сумма стоимостей всех его ребер, т.е. .

Минимальным остовом называется остов минимальной стоимости.

Таким образом, минимальный остов - это самая дешевая (короткая) система путей, связывающая все вершины G.

Опишем процедуру построения минимального остова, предложенную Дж. Крускалом в 1956г.

Алгоритм МинОстов

Вход: связный граф G=(V,E) и функция стоимости ребер c: E -> R.

Выход: минимальный остов S=(V,T).

Этап 1. Пусть E содержит m ребер. Упорядочим их по возрастанию стоимостей:

Этап 2. Последовательно для каждого i =1, ... , m определим множество ребер T_i:

Положим T=T_m.

Выдать в качестве результата граф S=(V,T).

Докажем, что этот алгоритм корректен.

Теорема 11.1. Алгоритм МинОстов строит минимальный остов входного графа G=(V,E).

Доказательство Пусть результатом работы МинОстов на графе G=(V,E) является граф S=(V,T). Отметим вначале, что S является деревом. Действительно, отсутствие циклов следует из определения множеств T_i. Предположим, что S не является связным. Тогда должны существовать две вершины , которые не достижимы друг из друга в S. Но граф G связен, поэтому в нем есть путь из u в v. Тогда на этом пути обязательно имеется такое ребро , у которого один конец a соединен путем с u в графе S, а второй конец b - нет. Но тогда на шаге i ребро e_i должно попасть в T_i, так как его добавление не образует цикла. Следовательно, граф S связен.

Покажем теперь, что дерево S имеет минимальную стоимость. Пусть T={d₁, ...,d_k, ..., d_n-1} - упорядочение всех ребер T по стоимости.

Покажем индукцией по k=1, ... , (n-1), что существует минимальный остов, включающий ребра d₁, ...,d_k.

Пусть S'=(V,T') - минимальный остов, у которого (k-1) наименьших по стоимости ребер совпадают с ребрами T, т.е. упорядочение всех его ребер имеет вид: T'={f₁=d₁, ..., f_k-1= d_k-1, f_k, ..., f_n-1} и . Пусть d_k=(u,v). В T' имеется некоторый путь p из u в v, который не содержит ребро d_k. На этом пути обязательно есть некоторое ребро f=(u''), не попавшее в T, иначе в T образовался бы цикл. Из построения T следует, что c(d_k) <= c(f). Рассмотрим граф . Очевидно, что этот граф является остовным деревом. Действительно, связь между u' и v' сохранилась, так как в S'' имеется путь: . Поэтому S'' - связный граф. Если бы в S'' был цикл, то он обязательно включал бы ребро d_k. Но тогда часть этого цикла без ребра d_k образовывала бы путь p' между u в v, не совпадающий с путем p. Следовательно, в дереве T' было бы два разных пути между u в v, что невозможно, так как тогда в T' был бы цикл. Отсюда заключаем, что в S'' циклов нет и S'' - остовное дерево. Его стоимость c(S'')= c(S') - c(f) + c(d_k) <= c(S'). Так как S' - минимальный остов, то c(S'')=c(S') и S'' - тоже минимальный остов, у которого с S имеется k общих ребер: d₁, ..., d_k.

Тогда при k=n-1 получаем, что S - минимальный остов.

Пример 11.1. Рассмотрим нагруженный граф G, показанный на рис. 11.1.

Рис. 11.1. Граф G

Применим к нему алгоритм МинОстов. На первом этапе упорядочим все ребра, а на втором - рядом с каждым из них определим соответствующее множество T_i. Ребра, попавшие в T, будем по ходу вычисления отмечать знаком '+', а не попавшие - знаком '-'.

Таким образом, мы построили для G минимальный остов S=(V,T), где T=T₈ ={ (a,g), (g,e), (g,c), (e,d), (a,b), (f,g)}. Он показан на рис. 11.2. Стоимость этого остова c(S)=25.

Рис. 11.2. Минимальный остов S=(V,T) для графа G

Замечание. Так как дерево с n вершинами содержит в точности (n-1) ребер, то работу алгоритма МинОстов можно прекращать после такого шага i, на котором в T_i окажется |V| - 1 ребер. В нашем примере |V| =7 и алгоритм мог остановиться после 8-го шага.