Тверской государственный университет
Опубликован: 21.08.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 2895 / 123 | Оценка: 4.08 / 3.92 | Длительность: 15:40:00
ISBN: 978-5-9556-0110-6
Специальности: Программист, Математик
Лекция 4:

Эквивалентность формул и нормальные формы

< Лекция 3 || Лекция 4: 1234 || Лекция 5 >
Аннотация: Эквивалентность булевых формул. Основные эквивалентности (законы логики). Эквивалентные преобразования формул. Принцип замены эквивалентных. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы (ДНФ и КНФ). Совершенные ДНФ и КНФ. Сокращенные ДНФ и их построение методом Блейка. Многочлены Жегалкина и их построение с помощью эквивалентных преобразований формул и методом неопределенных коэффициентов по таблицам
Ключевые слова: булева формула, эквивалентные формулы, булева функция, тождество, законы логики, основные эквивалентности (законы логики), законы ассоциативности, законы коммутативности, Законы дистрибутивности, Закон двойного отрицания, Законы де Моргана, законы упрощения, Законы идемпотентности, Закон противоречия, Закон исключенного третьего, Законы 0 и 1, импликация, сложение, отрицание, значение формулы, операция конъюнкции, внешняя функция, подформула, основные тождества, законы поглощения, элементарная конъюнкция, элементарная дизъюнкция, дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ), совершенная ДНФ, конъюнктивная нормальная форма (КНФ), совершенная КНФ, процедура проверки эквивалентности формул, сокращенная ДНФ, Элементарная конъюнкция допустимая для f, Элементарная конъюнкция максимальная для f, Сокращенные ДНФ, максимальная эк, метод Блейка, эквивалентная ДНФ, допустимая эк, многочлен Жегалкина, подкласс, Элементарная конъюнкция положительная (монотонная), множества, конъюнкция, функция, эквивалентность, коэффициенты, равенство, линейное уравнение, представление, метод неопределенных коэффициентов

Эквивалентность булевых формул

Определение 4.1. Булевы формулы \Phi и \Psi называются эквивалентными, если соответствующие им функции f_{\Phi } и f_{\Psi } равны.

Обозначение: \Phi  \equiv  \Psi. Эквивалентные формулы называют также тождественно равными, а выражения вида \Phi  \equiv  \Psi логическими тождествами .

Основные эквивалентности (тождества)

Таким образом, эквивалентные формулы являются различными заданиями одной и той же булевой функции. Ниже мы приводим ряд пар эквивалентных формул (тождеств), отражающих существенные свойства логических операций и важные соотношения между различными операциями. Они часто позволяют находить для булевых функций по одним задающим их формулам более простые формулы. Большинство из приводимых тождеств имеют собственные имена. Часто их называют законами логики.

Пусть \hat{} - это одна из функций \wedge , \vee , +. Для этих трех функций выполнены следующие две эквивалентности ( законы ассоциативности и коммутативности ).

  1. Ассоциативность:
    ((X_1 \circ X_2) \circ X_3) \equiv (X_1 \circ(X_2 \circ X_3)) ( 1)
  2. Коммутативность:
    (X_1 \circ X_2)  \equiv (X_2 \circ X_1 ) ( 2)
  3. Дистрибутивные законы:
    \begin{array}{l}
        ((X_1 \vee X_2) \wedge X_3) \equiv ((X_1 \wedge X_3)\vee (X_2 \wedge X_3))\\
        ((X_1 \wedge X_2) \vee X_3) \equiv ((X_1 \vee X_3)\wedge (X_2 \vee X_3))\\
        ((X_1 + X_2) \wedge X_3) \equiv ((X_1 \wedge X_3)+ (X_2 \wedge X_3))\end{array} ( 3)
  4. Двойное отрицание:
    \neg (\neg X) \equiv X ( 4)
  5. Законы де Моргана (внесение отрицания внутрь скобок):
    \begin{array}{c}
        \neg (X_1 \vee X_2) \equiv (\neg X_1 \wedge \neg X_2)\\
        \neg (X_1 \wedge X_2) \equiv (\neg X_1 \vee \neg X_2)
        \end{array} ( 5)
  6. Законы упрощения:
    \begin{array}{c}
        (X \wedge X) \equiv X  \hspace{20mm}  (X \vee X) \equiv X \\
        (X \wedge \neg X) \equiv 0  \hspace{20mm}  (X \vee \neg X) \equiv 1 \\
        (X \wedge 0) \equiv 0  \hspace{20mm}  (X \vee 0) \equiv X \\
        (X \wedge 1) \equiv X  \hspace{20mm}  (X \vee 1) \equiv 1
        \end{array} ( 6)

Некоторые законы упрощения имеют собственные названия: эквивалентности в первой строке называются законами идемпотентности, (X \wedge \neg X) \equiv 0 - это закон противоречия, (X \vee \neg X) \equiv 1 - это закон исключенного третьего. Эквивалентности в двух последних строках иногда называют законами 0 и 1.

Следующие две эквивалентности позволяют выразить импликацию и сложение по модулю 2 через дизъюнкцию, конъюнкцию и отрицание.

(X_1 \rightarrow X_2) \equiv (\neg X_1 \vee X_2) ( 7)
(X_1 + X_2) \equiv (( X_1 \wedge \neg X_2)\vee (\neg X_1\wedge X_2)) ( 8)

Проверку правильности этих эквивалентностей оставляем читателям (см. задачу 4.1).

Эквивалентные преобразования формул

Соглашения об упрощенной записи формул.

  1. Законы ассоциативности показывают, что значения формул, составленных из переменных и одних операций конъюнкции, не зависят от расстановки скобок. Поэтому вместо формул ((X_{1} \wedge  X_{2}) \wedge  X_{3}) и (X_{1} \wedge  (X_{2} \wedge  X_{3})) мы будем для упрощения писать выражение (X_{1} \wedge  X_{2} \wedge  X_{3}), которое не является формулой, но может быть превращено в нее с помощью расстановки скобок. Аналогично, будем использовать выражения (X_{1} \vee  X_{2} \vee  X_{3}) и (X1 + X2 + X3) для сокращения формул, состоящих из одних дизъюнкций или одних сложений по модулю 2, соответственно.
  2. Если внешней функцией в формуле является одна из функций \wedge , \vee , +, \to, то внешние скобки в записи формулы можно опустить.

Таким образом, с использованием этих соглашений формула

(((X \vee Y)\vee(Z \wedge \neg X))\rightarrow ((Y + Z)+\neg X))

может быть записана как

(X \vee Y \vee (Z \wedge \neg X))\rightarrow (Y + Z+\neg X).

Из определения эквивалентности формул непосредственно следует Принцип замены эквивалентных подформул:

пусть формула \alpha является подформулой формулы \Phi, формула \alpha ' эквивалентна \alpha и формула \Phi ' получена из \Phi посредством замены некоторого вхождения \alpha на \alpha '. Тогда \Phi ' эквивалентна \Phi, т.е. \Phi ' \equiv  \Phi.

Применяя этот принцип и используя основные тождества, можно находить для заданной формулы другие эквивалентные ей формулы. Часто это может приводить к существенному упрощению исходной формулы. Например, если в формуле ((X \wedge  0)\vee  Y) заменим на основании тождеств (6) подформулу (X \wedge  0) на 0, то получим эквивалентную формулу (0 \vee  Y). По закону коммутативности (2) эта формула эквивалентна формуле (Y \vee  0), которая, в свою очередь, по одному из тождеств группы (6) эквивалентна формуле Y. Эту цепочку эквивалентных преобразований можно записать также следующим образом:

((X \wedge 0)\vee Y) \underset{(6)}{\equiv}(0 \vee Y)\underset{(2)}{\equiv}
(Y \vee 0)\underset{(6)}{\equiv} Y

В этой цепочке вспомогательные номера под знаками эквивалентности указывают, с помощью какой группы основных тождеств эта эквивалентность получается.

Выведем еще несколько важных логических тождеств, позволяющих проводить упрощения сложных формул. Их называют законами поглощения.

  1. X \vee (X \wedge \Phi){\equiv}X ( П1)

    Действительно,

    X \vee (X \wedge \Phi) \underset{(6)}{\equiv} (X \wedge 1) \vee(X \wedge \Phi)
        \underset{(3)}{\equiv} X \wedge (1 \vee \Phi) \underset{(2,6)}{\equiv} X \wedge 1 \underset{(6)}{\equiv}X
  2. (X \wedge \Phi) \vee (\neg X \wedge \Phi) {\equiv} \Phi ( П2)
    Действительно,
    (X \wedge \Phi) \vee (\neg X \wedge \Phi) \underset{(3)}{\equiv}
        (X \vee \neg X) \wedge \Phi \underset{(6)}{\equiv} 1 \wedge \Phi
        \underset{(6)}{\equiv} \Phi
  3. (X_1 \wedge  X_2) \vee (\neg X_1 \wedge X_3) \vee ( X_2
        \wedge  X_3) {\equiv} (X_1 \wedge X_2) \vee (\neg X_1 \wedge X_3) ( П3)
    Действительно,
    (X_1 \wedge  X_2) \vee (\neg X_1 \wedge X_3) \vee ( X_2 \wedge  X_3)\underset{(2,6)}{\equiv} \\
        (X_1 \wedge  X_2) \vee (\neg X_1 \wedge X_3) \vee (X_1 \vee \neg X_1)\wedge ( X_2 \wedge  X_3)\underset{(3,2)}{\equiv}\\
        ((X_1 \wedge  X_2) \vee (X_1 \wedge X_2 \wedge X_3)) \vee ((\neg X_1 \wedge X_2 )\vee (\neg X_1 \wedge  X_2 \wedge X_3)) \underset{(3)}{\equiv}\\
       ((X_1 \wedge  X_2) \wedge (1 \vee X_3)) \vee ((\neg X_1 \wedge X_2 ) \wedge (1 \vee X_3)) \underset{(6)}{\equiv}\\
       ((X_1 \wedge  X_2) \wedge 1) \vee ((\neg X_1 \wedge X_2 ) \wedge 1 ) \underset{(6)}{\equiv}\\
       (X_1 \wedge X_2) \vee (\neg X_1 \wedge X_3)
< Лекция 3 || Лекция 4: 1234 || Лекция 5 >
Елена Алексеевская
Елена Алексеевская

Это в лекции 3.

Татьяна Дембелова
Татьяна Дембелова

Почему в вводной лекции курса Основы дискретной математики одним из свойств отношения частичного порядка упоминается антирефлексивность? Посмотрела в других источниках, там -0  рефлексивность... http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%88%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%BA%D0%B0

Дмитрий Крюков
Дмитрий Крюков
Россия, Москва
Иван Суслов
Иван Суслов
Россия, Москва